Varianzanalyse mit Messwiederholung

Die ANOVA mit Messwiederholungen testet, ob es statistisch signifikante Unterschiede zwischen drei oder mehr abhängigen Stichproben gibt. Bei einer abhängigen Stichprobe werden dieselben Teilnehmer mehrmals unter verschiedenen Bedingungen oder zu verschiedenen Zeitpunkten gemessen.

Die einfaktorielle Varianzanalyse mit Messwiederholung ist die Erweiterung des t-Tests für abhängige Stichproben für mehr als zwei Gruppen.

Bei dem t-Test für abhängige Stichproben haben wir untersucht, ob es einen Unterschied zwischen zwei abhängigen Gruppen gibt. Wenn wir testen möchten, ob es einen Unterschied zwischen mehr als zwei abhängigen Gruppen gibt, verwenden wir die Varianzanalyse mit Messwiederholungen.

Was sind nun abhängige Stichproben?

Bei einer abhängigen Stichprobe sind die Messwerte verbundene. Wird z. B. eine Stichprobe von Personen gezogen, die eine Knieoperation haben und diese Personen werden jeweils vor der Operation und eine Woche und zwei Wochen nach der Operation befragt, handelt es sich um eine abhängige Stichprobe. Dieses ist der Fall, da ein und dieselbe Person zu zwei Zeitpunkten befragt wurde.

Nun muss es natürlich nicht um Personen oder Zeitpunkte handeln, verallgemeinert kann man sagen: Bei einer abhängigen Stichprobe werden dieselben Prüfeinheiten mehrmals unter verschiedenen Bedingungen gemessen. Die Testeinheiten können z. B. Menschen, Tiere oder Zellen sein, und die Bedingungen können z. B. Zeitpunkte oder Behandlungen sein.

Unterschied Varianzanalyse mit und ohne Messwiederholung

Wenn 3 oder mehr unabhängige Stichproben vorliegen, wird die ANOVA ohne Messwiederholung verwendet. Aber Achtung, natürlich müssen die Anforderungen geprüft werden! Dazu später mehr!

Beispiel für eine ANOVA mit Messwiederholung

Es könnte dich interessieren, ob eine Therapie nach einem Bandscheibenvorfall einen Einfluss auf das Schmerzempfinden der Patienten hat. Hierfür misst du einmal das Schmerzempfinden vor der Therapie, in der Mitte der Therapie und am Ende der Therapie. Nun möchtest du wissen, ab es einen Unterschied zwischen den verschiedenen Zeitpunkten gibt.

Also, deine Unabhängige Variable ist die Zeit, bzw. die mit der Zeit fortschreitende Therapie. Deine abhängige Variable ist das Schmerzempfinden. Du hast nun von jeder Person über die Zeit einen Verlauf vom Schmerzempfinden und möchtest nun wissen, ob die Therapie einen Einfluss auf das Schmerzempfinden hat.

Vereinfacht ausgedrückt hat die Therapie im linken Fall einen Einfluss auf das Schmerzempfinden, im rechten Fall hat die Therapie keinen Einfluss auf das Schmerzempfinden. Im zeitlichen Verlauf ändert sich das Schmerzempfinden auf der rechten Seite nicht, auf der linken Seite schon.

Forschungsfrage und Hypothesen

Was ist die Forschungsfrage bei einer ANOVA mit Messwiederholung? Die Forschungsfrage ist: Besteht ein signifikanter Unterschied zwischen den abhängigen Gruppen in Bezug auf den Mittelwert?

Die Null- und Alternativhypothese ergibt sich zu:

• Nullhypothese: Es gibt keine signifikanten Unterschiede zwischen den abhängigen Gruppen.
• Alternativhypothese: Es gibt einen signifikanten Unterschied zwischen den abhängigen Gruppen.

Voraussetzungen ANOVA mit Messwiederholungen

Damit kommen wir nun noch zu den Voraussetzungen der ANOVA mit Messwiederholungen und zum Schluss zeige ich dir noch, wie du sie ganz einfach online berechnen kannst. Also was sind die Voraussetzungen?

• Abhängige Stichproben: Bei den Stichproben muss es sich um abhängige Stichproben handeln.
• Normalverteilung: Die Daten sollten annähernd normalverteilt sein und ein metrisches Skalenniveau haben. Diese Annahme ist besonders wichtig, wenn die Stichprobengröße klein ist. Wenn die Stichprobengröße groß ist, ist die ANOVA einigermaßen robust gegenüber Verstößen gegen die Normalität.
• Sphärizität: Die Varianzen der Unterschiede zwischen allen Kombinationen von Faktorstufen (Zeitpunkten) sollten gleich sein.
• Homogenität der Varianzen: Die Varianz in jeder Gruppe sollte gleich groß sein. Der Levene-Test kann zur Überprüfung dieser Annahme verwendet werden.
• Homogenität der Kovarianzen (Sphärizität): Die Varianzen der Unterschiede zwischen allen Kombinationen der verschiedenen Gruppen sollten gleich sein. Diese Annahme kann mit dem Mauchly-Test auf Sphärizität geprüft werden.
• Keine wesentlichen Ausreißer: Ausreißer können eine unverhältnismäßige Auswirkung auf die ANOVA haben, was zu irreführenden Ergebnissen führen kann.

Ob die Daten normalverteilt sind oder nicht, kann z.B. mit dem QQ-Plot oder dem Kolmogorov-Smirnov-Test geprüft werden. Sollten die Daten nicht normalverteilt sein, wird der Friedman-Test verwendet.

Ob die Voraussetzung der Sphärizität verletzt ist, kann mit dem Mauchly-Test auf Sphärizität geprüft werden. Ist der daraus resultierende p-Wert größer als 0,05, kann davon ausgegangen werden, dass die Varianzen gleich sind und die Bedingung nicht verletzt ist.

Wenn diese Voraussetzung nicht erfüllt ist, können Anpassungen wie Greenhouse-Geisser oder Huynh-Feldt vorgenommen werden.

Ergebnisse der einfaktoriellen Varianzanalyse mit Messwiederholung

Die Varianzanalyse mit Messwiederholung gibt dir für deine Daten einen p-Wert aus. Mithilfe von diesem p-Wert kannst du ablesen, ob es einen signifikanten Unterschied zwischen den Messwiederholungen gibt.

Ist der berechnete p-Wert kleiner als das vorher festgelegte Signifikanzniveau, welches in der Regel 0,05 ist, wird die Nullhypothese abgelehnt.

In dem vorliegenden Beispiel, ergibt sich ein p-Wert von 0,01 der damit kleiner ist als 0,05. Daher wird in diesem Fall die Nullhypothese abgelehnt und es kann davon ausgegangen werden, dass es einen Unterschied zwischen den verschiedenen Zeitpunkten gibt.

Effektstärke bei der ANOVA mit Messwiederholung

Im Falle der Varianzanalyse mit Messwiederholung kann die Effektstärke über das partielle Eta-Quadrat (η²_p) berechnet werden. Hierbei wird die Varianz innerhalb der Personen in Bezug zu der Varianz gesetzt, die nicht erklärt werden kann, also der Fehler Varianz.

Bonferroni Post-hoc-Test

Sobald es einen signifikanten Unterschied zwischen den verschiedenen Zeitpunkten gibt, ist natürlich auch noch von Interesse, zwischen welchen Zeitpunkten dieser Unterschied genau ist. Dieses kann mithilfe des Bonferroni Post-hoc-Test herausgefunden werden.

Bei dem Bonferroni Post-hoc-Test bei einer ANOVA mit Messwiederholungen werden mehrere t-Tests für abhängige Stichproben berechnet. Bei multiplen Tests ist jedoch das Problem, dass der sogenannte Alpha-Fehler (die fälschliche Ablehnung der Nullhypothese) mit der Anzahl der Tests steigt. Um diesem entgegenzuwirken, wird bei dem Bonferroni Post-hoc-Test die erhaltenen p-Werte mal der Anzahl der Tests gerechnet.

Im vorliegenden Fall wurden 3 Tests durchgeführt, daher wurde für die Berechnung des Bonferroni-Post-hoc-Tests der aus dem t-Test gewonnene p-Wert im Hintergrund mit 3 multipliziert. Wenn ein oder mehrere p-Werte kleiner als 0,05 sind, wird ein signifikanter Unterschied zwischen den beiden Gruppen angenommen. In diesem Fall haben wir also einen signifikanten Unterschied zwischen Vorher und Nachher und zwischen Mitte und Nachher.

ANOVA mit Messwiederholungen mit DATAtab berechnen

ANOVA mit Messwiederholungen kannst du ganz einfach mit DATAtab berechnen. Hierfür besuche einfach den ANOVA mit Messwiederholungen Rechner auf DATAtab und kopiere deine eigenen Daten in die Tabelle.

Nun brauchst du einfach nur deine Variablen auswählen. Wenn du drei oder mehr metrische Variablen auswählst, wird automatisch eine Varianzanalyse mit Messwiederholung berechnet.

Und du bekommst die Ergebnisse ausgegeben. Du kannst den p Wert in der Tabelle ablesen und wenn du nicht genau weißt, wie du die Ergebnisse interpretieren kannst, schaue dir einfach die Interpretation in Worten an.

Zusätzlich werden dir die Ergebnisse in einem Boxplot dargestellt. Zum Schluss wird noch der Bonferroni Post toc Test berechnet.

Eine ANOVA mit wiederholten Messungen von Hand berechnen

Wie berechnet man eine Varianzanalyse mit wiederholten Messungen von Hand? Hier findest du die Formeln zur Berechnung einer ANOVA. Nehmen wir an, das sind unsere Daten. Wir haben 8 Personen, von denen wir jede zu drei verschiedenen Zeitpunkten (Start, Mitte und Ende) gemessen haben.

Zuerst können wir die notwendigen Mittelwerte berechnen. Mit den Mittelwerten können wir die Summe der Quadrate und das mittlere Quadrat berechnen. Nun können wir den F-Wert berechnen, der berechnet wird, indem wir das mittlere Quadrat der Behandlung durch das mittlere Quadrat des Residuums oder Fehlers teilen. Schließlich können wir mit dem F-Wert und den Freiheitsgraden von Behandlung und Fehler den p-Wert berechnen. Zur Berechnung des p-Werts verwenden wir die F-Verteilung.