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Lagemaße

Beispiel Datensatz

Was sind Lagemaße?

In der deskriptiven Statistik sind Mittelwert, Median und Modalwert Lagemaßen (Maße der zentralen Tendenz). Ausgehend von den in einer Stichprobe erhobenen Daten geben Lagemaße Auskunft darüber, wo die „Mitte“ der Verteilung liegt.

Mithilfe von Lagemaße können Daten mit nur einem Parameter zusammengefasst bzw. beschrieben werden. Ein Beispiel wäre, dass die durchschnittliche Studiendauer von SportstudentInnen an der Uni XY 11,1 Semester beträgt.

Mittelwert, Median & Modalwert

Zusammen mit den Streuungsparametern beschreiben die Lageparameter also eine Verteilung in der Statistik. Die am häufigsten verwendeten Lageparameter sind der Mittelwert, der Modalwert und der Median. Welcher Lageparameter verwendet wird, hängt von dem Skalenniveau der Variablen und der Robustheit gegenüber Ausreißern ab.

Mittelwert (Arithmetisches Mittel)

Der Mittelwert lässt sich nur bei metrischen Variablen berechnen, also wenn metrisches Skalenniveau gegeben ist. Er gibt an, wo der Schwerpunkt einer Verteilung zu finden ist. Im Alltag bezeichnet man ihn auch als „Durchschnitt“.

Definition

Das arithmetische Mittel ist die Summe aller Beobachtungen geteilt durch deren Anzahl n.

Der Mittelwert kann berechnet werden, indem alle Ausprägungen einer Variable addiert werden und die Summe schließlich durch die Anzahl der Merkmalsausprägungen geteilt wird.

Mittelwert berechnen

Mittelwert berechnen

Beispiel: 5 Statistik-Studierende wurden gefragt, wie viele Tassen Kaffee sie pro Woche trinken. Das Ergebnis ist 21, 25, 10, 8 und 11 Tassen. Der Mittelwert ergibt 15.

Mittelwert berechnen

Tipp: Mit dem Statistik Rechner von DATAtab kannst du ganz einfach den Mittelwert bzw. den gewünschten Lageparameter für deine Daten berechnen.

Geometrisches Mittel und quadratisches Mittel

Wenn von Mittelwert oder Durchschnitt gesprochen wird, ist meistens das arithmetische Mittel gemeint, es gibt jedoch auch andere Arten von Mittelwerten. Weitere Mittelwerte sind z.B. das geometrische Mittel oder das quadratische Mittel.

Geometrisches Mittel und quadratisches Mittel
  • Geometrisches Mittel: Wenn n positive Zahlen vorliegen, dann ergibt sich das geometrische Mittel durch die n-te Wurzel aus dem Produkt der n Werte.
  • Quadratisches Mittel: Das quadratische Mittel ergibt sich, indem die Summe der Quadrate durch die Anzahl der Werte geteilt wird und hiervon die Wurzel gezogen wird.

Median

Werden die Messwerte einer Variable der Größe nach geordnet, ist der Wert in der Mitte der Median. Beim Median handelt es sich also um den „mittleren Wert“ einer Verteilung. Er führt zu einer Unterteilung der Reihe in zwei Teile: Eine Hälfte ist kleiner und eine größer als der Median.

Da für die Berechnung des Medians die Daten geordnet werden, müssen die Variablen ein ordinales oder metrisches Skalenniveau aufweisen.

Definition:

Bei einer geordneten Reihe ist der Median der Wert, der die Reihe in einen gleich großen unteren und oberen Bereich aufteilt.

Median

Damit der Median berechnet werden kann muss die Variable ordinalskaliert sein. Ordinalskaliert heißt, dass zwischen den Ausprägungen einer Variable eine Rangordnung besteht. Dies gilt z.B. bei Schulnoten, der Körpergröße oder dem Gehalt. Bei einer Variable Geburtsort ist es jedoch nicht möglich, eine Reihung herzustellen, und daher kann der Median hier nicht berechnet werden.

Wenn es eine ungerade Anzahl an Merkmalsträgern (Personen) und damit eine ungerade Anzahl an Ausprägungen gibt, dann ist der Median ein Wert, der tatsächlich vorkommt.

Wenn es eine gerade Anzahl an Merkmalsträgern (Personen) gibt, werden die beiden mittleren Ausprägungen addiert und deren Summe wird durch zwei dividiert (Bildung des arithmetischen Mittels der beiden mittleren Werte der sortierten Liste).

median gerade und ungerade Anzahl

Mittelwert vs. Median

Der Median ist im Vergleich zum Mittelwert wesentlich robuster gegenüber Streuungen. Ein Ausreißer hat in der Regel keinen Einfluss auf den Median, jedoch hat er einen mehr oder weniger großen Einfluss auf den Mittelwert.

Mittelwert VS Median

Modalwert

Beim Modalwert oder auch Modus genannt handelt es sich in der Statistik um jene Ausprägung einer Variable, die am häufigsten vorkommt. Der Modalwert ist also der häufigste Wert einer Verteilung. Er ist somit jener Wert, der „typisch“ für eine Verteilung ist und entspricht dem höchsten Punkt der Verteilung.

Der Modalwert kann sowohl für metrische als auch für kategorische (nominale oder ordinale) Variablen verwendet werden.

Definition:

Der Modalwert ist der Wert einer Verteilung, der am häufigsten vorkommt.

Modalwert

Modalwert berechnen

Beispiel: In einer Stichprobe von 70 ManagerInnen aus Berlin fahren 20 die Automarke Daimler, 25 einen BMW, 10 einen VW und 15 einen Audi. Die Automarke BMW kommt am häufigsten vor. Somit ist der Modalwert „BMW“.

Modus statistik

Der Modalwert bzw. Modus kann in einer Häufigkeitstabelle ganz einfach abgelesen werden, er ist der häufigste Beobachtungswert.

Achtung: Es kann auch mehrere Modalwerte geben. Wenn zwei bzw. mehr Punkte mit größter Häufigkeit auftreten, dann gibt es mehrere Modalwerte. In diesem Fall spricht man dann von einer bimodalen bzw. multimodalen Verteilung.

Vorteil und Nachteil von Mittelwert, Median und Modus

Wenn die Verteilung symmetrisch ist, sind der Mittelwert und der Median gleich, und wenn die Verteilung symmetrisch und unimodal ist, sind alle drei Maße gleich. Inder Regel weisen aber die drei Maße unterschiedliche Werte auf. Nun ist natürlich die Frage, welche der Maße der zentralen Tendenz verwendet wird. Leider gibt es hierfür keine klare Regel, nur ein paar Entscheidungshilfen.

Mittelwert: Der Mittelwert wird mit Abstand am meisten verwendet. Die Nachteile vom Mittelwert sind, dass er sensibel auf Ausreißer reagiert, der Wert in den Daten nicht existieren muss und die Interpretation nur dann sinnvoll ist, wenn die Daten metrisch skaliert sind.

Median: Der große Vorteil vom Median ist, dass er sehr robust gegenüber Ausreißer ist und dass die Daten nur ordinal skaliert sein müssen.

Modalwert: Der Modalwert ist der Wert, der am häufigsten vorkommt, was den Vorteil mit sich bringt, dass der Wert tatsächlich vorkommt. Des Weiteren kann der Modalwert auch für Daten berechnet werden, die nicht geordnet werden können und damit nominales Skalenniveau aufweisen. Der Nachteil ist, dass der Modalwert die anderen vorhandenen Daten gar nicht berücksichtigt.

Lagemaße mit DATAtab berechnen

Um Lagemaße mit DATAtab zu berechnen besuche einfach den Statistik-Rechner auf DATAtab und füge deine Daten in die Tabelle ein. Nachdem du deine Variablen ausgewählt hast, kannst du dann z.B. den Mittelwert, Median und Modus deiner Daten berechnen.

Als Beispiel kann die Punktezahl bei einer Statistik-Prüfung herangezogen werden. Hierfür kopierst du die Daten in den Statistik-Rechner, klickst auf „Deskriptive Statistik“ und wählst die Variable "Punktezahl" aus.

Student Punktezahl
1 4
2 5
3 5
4 8
5 9
6 12
7 14
8 16
9 17
10 20

Das Ergebnis sieht dann folgendermaßen aus:

Punktezahl
Mittelwert 11
Median 10,5
Modalwert 5
Mittelwert berechnen:

Der Mittelwert, hier das arithmetische Mittel, ergibt sich, indem die Summe aller Werte durch die Anzahl der Werte geteilt wird.

Beispiel Mittelwert berechnen
Median berechnen:

Aufgrund der geraden Anzahl an Werten ergibt sich der Median durch die Addition der beiden mittleren Werte. Die Summe wird dann durch zwei geteilt.

Median berechnen
Modus berechnen:

Um den Modus zu erhalten, wird die Auftretenshäufigkeit jedes einzelnen Wertes gezählt. Der Wert, der am häufigsten vorkommt, ist der Modalwert. In diesem Fall kommt der Wert 5 als einziger zweimal vor, daher ist der Modalwert in diesem Beispiel 5.


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DATAtab zitieren: DATAtab Team (2024). DATAtab: Online Statistics Calculator. DATAtab e.U. Graz, Austria. URL https://datatab.de

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