Streuungsmaße

Standardabweichung, Varianz und Spannweite gehören zu den Streuungsmaßen in der deskriptiven Statistik. Sie werden auch Maße der Dispersion genannt und dienen dazu, die Streuung von Werten einer Stichprobe rundum einen Lageparameter zu beschreiben. Vereinfacht ausgedrückt sind Streuungsparameter ein Maß dafür, wie sehr eine Stichprobe um einen Mittelwert schwankt.

Lagemaße geben dir also Informationen über die Mitte deiner Daten, Streuungsmaße geben dir Informationen, wie stark deine Daten um diese Mitte streuen.

Standardabweichung & Varianz

Die gängigsten Streuungsmaße für metrische Variablen sind die Standardabweichung und die Varianz. Diese beiden Maßzahlen setzen jede Ausprägung einer Variable mit dem Mittelwert in Bezug und geben an, wie weit die einzelnen Ausprägungen um den Mittelwert streuen.

Was ist die Standardabweichung?

Die Standardabweichung gibt die Streubreite einer Variable rund um deren Mittelwert an. Die Standardabweichung ist die mittlere Abweichung (quadratischer Mittelwert) von allen gemessenen Werten von dem Mittelwert.

Das Streuungsmaß Standardabweichung gibt also an, wie stark die einzelnen Werte um den Mittelwert streuen. Streuen die einzelnen Ausprägungen stark um den Mittelwert, ergibt sich eine hohe Standardabweichung der Variable.

Zur Berechnung der Standardabweichung gibt es zwei leicht unterschiedliche Gleichungen. Einerseits kann man die gesamte Grundgesamtheit heranziehen, andererseits kann sie auch berechnet werden, wenn nur eine Stichprobe zur Verfügung steht. Stehen alle Werte der Grundgesamtheit zur Verfügung, ergibt sich

Oftmals stehen jedoch nicht die Daten der gesamten Grundgesamtheit zur Verfügung. Deshalb wird zumeist auf eine Stichprobe zurückgegriffen, um die Standardabweichung der Grundgesamtheit zu schätzen. Zur Berechnung ergibt sich in diesem Fall

Der Unterschied der beiden Formeln ist, dass einmal durch n geteilt wird und einmal durch n-1. Es ist üblich, s für die Standardabweichung einer Stichprobe und σ für die Standardabweichung der Grundgesamtheit zu verwenden.

Was ist die Varianz?

Genauso wie die Standardabweichung misst die Varianz die Abweichung vom Mittelwert. Zur Berechnung der Varianz, wird die Summe der quadrierten Abweichungen durch die Anzahl der Werte geteilt.

Die Varianz beschreibt also die quadrierte durchschnittliche Entfernung vom Mittelwert. Weil die Werte quadriert werden, hat das Ergebnis eine andere Einheit (eben die Einheit zum Quadrat) als die ursprünglichen Werte. Daher ist es schwer, die Ergebnisse in Bezug zu setzen.

Unterschied Varianz und Standardabweichung

Der Unterschied zwischen dem Streuungsparameter Varianz und der Standardabweichung ist also, dass die Standardabweichung die durchschnittliche Entfernung vom Mittelwert misst und die Varianz die quadrierte durchschnittliche Entfernung vom Mittelwert. Andersherum gesagt, die Varianz ist die quadrierte Standardabweichung und die Standardabweichung ist die Wurzel der Varianz.

Durch diese Quadrierung ergibt sich jedoch eine schwer zu interpretierende Kennzahl, da eben die Einheit nicht mit den Ausgangsdaten übereinstimmt. Aus diesem Grund ist es ratsam, zur Beschreibung einer Stichprobe stets die Standardabweichung heranzuziehen, da damit die Interpretation leichter von der Hand geht.

Spannweite

Bei der Spannweite, auch Range oder Variationsbreite genannt, handelt es sich um den Abstand zwischen dem Minimum und dem Maximum einer Verteilung, also den Abstand zwischen dem kleinsten und dem größten Wert. Wird z.B. bei 7 Personen die Größe abgefragt und der größte Wert ist 1,90m und der kleinste 1,50m, dann berechnet sich die Spannweite mit 1,90m - 1,50m zu 0,4m.

Die Spannweite, oft mit R abgekürzt, berechnet sich also durch

Quartile

Quartile teilen deine Daten in vier, möglichst gleich große Teile ein. Für die Berechnung von Quartilen müssen die Daten vom kleinsten zum größten Wert sortiert werden.

• Quartil 1 (Q1): Der mittlere Wert zwischen dem kleinsten Wert (Minimum) und dem Median.
• Quartil 2 (Q2): Der Median der Daten, also 50% der Werte sind kleiner und 50% sind größer.
• Quartil 3 (Q3): Der mittlere Wert zwischen dem Median und dem größten Wert (Maximum).

Im unteren Quartil Q1 liegen also 25% und im oberen Quartil Q3 liegen 25% aller Werte.

Interquartilsabstand

Im Gegensatz zur Spannweite, in der 100% aller Werte liegen, möchte man öfters den Bereich wissen, in dem die mittleren 50% aller Werte liegen. Dieser Streuungsparameter wird Interquartilsabstand (IQR) genannt. Bei dem Interquartilsabstand werden also die oberen und unteren 25% der Werte nicht berücksichtigt.

Streuungsmaße mit DATAtab berechnen

Die Berechnung von Spannweite, Varianz und Standardabweichung soll nun an einem Beispiel verdeutlicht werden. Hierzu werden nun die Ergebnisse von Studierenden in einer Statistik-Prüfung (Punktezahlen) herangezogen.

So geht's mit DATAtab: Der Rechner für deskriptive Statistiken auf DATAtab berechnet dir die Spannweite, Varianz und Standardabweichung. Kopiere die oberen Daten in den Online Statistik Rechner, klicke auf Deskriptive Statistik und wähle die Variable "Punktezahl" aus. Das Ergebnis für die Streuungsparameter sieht dann folgendermaßen aus:

Varianz berechnen:

Die Varianz ergibt sich über die Summe der quadrierten Abweichungen vom Mittelwert aller Werte dividiert durch die Anzahl der Werte.

Standardabweichung berechnen:

Die Standardabweichung ergibt aus der Quadratwurzel der Varianz.

Spannweite berechnen:

Die Spannweite ergibt sich, indem der kleinste Wert von dem größten Wert abgezogen wird.