Varianzanalyse (ANOVA)

Was ist eine Varianzanalyse?

Eine Varianzanalyse (ANOVA - engl. Analysis of Variance) überprüft, ob statistisch signifikante Unterschiede zwischen mehr als zwei Gruppen vorliegen. Hierfür werden die Mittelwerte der jeweiligen Gruppen miteinander verglichen. Im Gegensatz zum t-Test, der prüft, ob es einen Unterschied zwischen zwei Gruppen gibt, prüft die ANOVA, ob es einen nterschied zwischen mehr als zwei Gruppen gibt.

Es gibt verschiedene Arten der Varianzanalyse, die gängigsten sind die einfaktorielle und zweifaktorielle Varianzanalyse die jeweils entweder mit oder ohne Messwiederholung berechnet werden kann.

In diesem Tutorial erfährst du die Basics zur ANOVA, zu jeder der vier Arten der Varianzanalyse findest du dann jeweils ein separates ausführliches Tutorial:

• Tutorial 1: Einfaktorielle Varianzanalyse
• Tutorial 2: Zweifaktorielle Varianzanalyse
• Tutorial 3: Einfaktorielle Varianzanalyse mit Messwiederholung
• Tutorial 4: Zweifaktorielle Varianzanalyse mit Messwiederholung

Tipp: Alle vier Varianten der ANOVA kannst du auf DATAtab ganz einfach online berechnen. Besuche hierfür einfach den ANOVA Rechner.

Warum können nicht einfach mehrere t-Tests berechnet werden?

Die Varianzanalyse wird verwendet, wenn es mehr als zwei Gruppen gibt, die untersucht und verglichen werden sollen. Natürlich wäre es auch eine Möglichkeit, für jede Kombination der Gruppen jeweils einen t-Test zu berechnen. Hier bestünde jedoch das Problem, dass jeder Hypothesentest eine gewisse Irrtumswahrscheinlichkeit hat. Diese wird in der Regel auf 5% gesetzt, sodass rein statistisch jeder 20. Test ein falsches Ergebnis liefert.

Werden nun z.B. 20 Gruppen verglichen, in denen es eigentlich keinen Unterschied gibt, wird rein aufgrund der Stichprobenziehung einer der Tests einen signifikanten Unterschied aufweisen.

Unterschied einfaktorielle und zweifaktorielle ANOVA

Bei der einfaktoriellen Varianzanalyse wird geprüft ob eine unabhängige Variable einen Einfluss auf eine metrische abhängige Variable hat. Dies ist z.B. der Fall, wenn untersucht werden soll, ob der Wohnort (unabhängige Variable) einen Einfluss auf das Gehalt (abhängige Variable) hat. Werden jedoch zwei Faktoren, also zwei unabhängige Variablen betrachtet muss eine zweifaktorielle Varianzanalyse verwendet werden.

Die zweifaktorielle Varianzanalyse prüft ob es einen Unterschied zwischen mehr als zwei unabhängigen Stichproben gibt die auf zwei Variablen bzw. Faktoren aufgeteilt sind.

Varianzanalyse mit und ohne Messwiederholung

Je nachdem, ob es sich bei der Stichprobe um eine unabhängige oder eine abhängige Stichprobe handelt, wird entweder die Varianzanalyse mit oder ohne Messwiederholungen verwendet. Wurde ein und dieselbe Person zu mehreren Zeitpunkten befragt, handelt es sich um eine abhängige Stichprobe, und die Varianzanalyse mit Messwiederholungen wird verwendet.

Einfaktorielle Varianzanalyse

Die Einfaktorielle Varianzanalyse stellt eine Erweiterung des t-Tests für unabhängige Gruppen dar. Beim t-Test können nur maximal 2 Gruppen verglichen werden. Dies wird nun auf mehr als zwei Gruppen ausgeweitet. Für zwei Gruppen (k = 2) ist die Varianzanalyse also äquivalent mit dem t-Test. Die unabhängige Variable ist dementsprechend eine nominalskalierte Variable mit mindestens zwei Merkmalsausprägungen. Die abhängige Variable hat metrisches Skalenniveau. Im Falle der Varianzanalyse spricht man bei der unabhängigen Variablen vom Faktor.

Ziel der ANOVA ist es, möglichst viel Varianz der abhängigen Variable durch die Aufteilung in die Gruppen zu erklären. Betrachten wir hierfür folgendes Beispiel.

Einfaktorielle Varianzanalyse Beispiel

Mithilfe der unabhängigen Variable, z. B. höchster Bildungsabschluss mit den drei Ausprägungen Gruppe 1, Gruppe 2 und Gruppe 3 soll möglichst viel Varianz der abhängigen Variable Gehalt aufgeklärt werden. In der untenstehenden Grafik kann unter A) mit den drei Gruppen sehr viel Varianz aufgeklärt werden und unter B) nur sehr wenig.

Demnach haben in Fall A) die Gruppen einen sehr hohen Einfluss auf das Gehalt und in Fall B) nicht.

Im Fall von A) weichen die Werte in den jeweiligen Gruppen nur wenig vom Gruppenmittelwert ab, die Varianz innerhalb der Gruppen ist daher sehr klein. Im Fall von B) ist die Varianz innerhalb der Gruppen jedoch groß. Mit der Varianz zwischen den Gruppen ist es genau andersherum, diese ist im Fall von A) groß und bei B) klein. Bei B) liegen die Gruppenmittelwerte nahe zusammen, bei A) nicht.

Hypothesen bei der Varianzanalyse

Vor der Durchführung einer Varianzanalysen, ist es natürlich notwendig, Hypothesen zu formulieren, die überprüft werden sollen. Die Nullhypothese und die Alternativhypothese ergeben sich bei einer einfaktoriellen Varianzanalyse folgendermaßen:

• Nullhypothese H₀: Der Mittelwert aller Gruppen ist gleich.
• Alternativhypothese H₁: Es gibt Unterschiede in den Mittelwerten der Gruppen.

Es ist dabei zu beachten, dass die Ergebnisse der ANOVA nur eine Aussage darüber treffen können, ob es grundsätzlich Unterschiede zwischen mindestens zwei Gruppen gibt. Es kann dabei jedoch nicht festgestellt werden, welche Gruppen sich genau unterscheiden. Um festzustellen, welche Gruppen sich unterscheiden, braucht es einen Posthoc-Test. Hierbei stehen verschiedene Verfahren zur Auswahl, wobei Duncan, Dunnet C und Scheffé zu den gängigsten Verfahren zählen.

Ein weiteres Beispiel für die einfaktorielle Varianzanalyse wäre zu untersuchen, ob sich der tägliche Kaffeekonsum von Studierenden aus unterschiedlichen Studienrichtungen signifikant unterscheidet.

Voraussetzungen einfaktorielle Varianzanalyse

Bevor du mit der Durchführung einer Varianzanalyse startest, gilt es die folgenden Voraussetzungen zu überprüfen, damit du weißt, ob deine Daten für diesen Test geeignet sind. Diese Voraussetzungen sind folgende:

• Skalenniveau: Das Skalenniveau der abhängigen Variable sollte metrisch sein, jenes der unabhängigen Variable nominalskaliert
• Unabhängigkeit: Die Messungen sollen unabhängig sein, also der Messwert von einer Gruppe soll nicht durch den Messwert einer anderen beeinflusst sein
• Homogenität: Die Varianzen in jeder Gruppe sollten in etwa gleich sein. Dies kann mit dem Levene-Test überprüft werden.
• Normalverteilung: Die Daten innerhalb der Gruppen sollten normalverteilt sein. Das bedeutet, dass der Großteil der Werte im durchschnittlichen Bereich liegt, während sich nur sehr wenige Werte deutlich darunter oder darüber befinden. Ist diese Voraussetzung nicht erfüllt, kann der Kruskal-Wallis-Test verwendet werden.

Liegen keine unabhängigen Stichproben vor, sondern abhängige, dann wird eine einfaktorielle Varianzanalyse mit Messwiederholungen verwendet.

Welch's ANOVA

Ist die Voraussetzung der Varianzhomogenität nicht erfüllt, kann anstatt der "normalen" ANOVA die Welch's ANOVA berechnet werden. Ergibt sich beim Levene-Test eine signifikante Abweichung der Varianzen in den Gruppen, berechnet DATAtab automatisch zusätzlich die Welch's ANOVA.

Varianzanalyse per Hand berechnen

Hinweis: Für die Berechnung der Varianzanalyse wird üblicherweise eine Statistik Software wie DATAtab verwendet. Das Wissen über die Hintergründe der Varianzanalyse, ist aber wichtig, um genauer zu verstehen, wie eine Varianzanalyse funktioniert und interpretiert wird. Schaue dir hierfür das folgende Video an:

Effektstärke Eta-Quadrat (η²)

Die bekanntesten Maße für die Effektstärke bei der Varianzanalyse ist das Eta-Quadrat und das partielles Eta-Quadrat. Für eine einfaktorielle ANOVA sind das Eta-Quadrat und das partielles Eta-Quadrat identisch.

Das Eta-Quadrat schätzen die Varianz, die eine Variable aufklärt. jedoch ist zu beachten, dass die aufgeklärte Varianz immer überschätzt wird. Eta-Quadrat wird berechnet, indem die Quadratsumme zwischen durch die Quadratsumme gesamt geteilt wird.

Zweifaktorielle Varianzanalyse

Wie der Name schon sagt, untersucht die zweifaktorielle Varianzanalyse den Einfluss von zwei Faktoren auf eine abhängige Variable. Hiermit wird die einfaktorielle Varianzanalyse noch um einen weiteren Faktor, also um eine weitere nominalskalierte unabhängige Variable ausgebaut. Die Frage ist hierbei wieder, ob sich die Mittelwerte der Gruppen signifikant unterscheiden.

Zweifaktorielle Varianzanalyse mit Messwiederholung

Bei der zweifaktoriellen Varianzanalyse mit Messwiederholung gibt es eine messwiederholte Variable und zusätzlich eine kategorische Variable.

Beispiel Einfaktorielle Varianzanalyse:

Du möchtest prüfen, ob es zwischen den Studierenden verschiedener Studienfächer einen Unterschied hinsichtlich des Kaffeekonsums gibt. Hierfür befragst du 10 Studierende aus jeder Studienrichtung.

Nachdem du die obenstehende Tabelle in den Statistik Rechner kopiert hast, klickst du einfach auf Hypothesentest und wählst die drei Variablen aus. Das Ergebnis sieht dann folgendermaßen aus:

Dabei ist N die Anzahl der Fälle für jede Kategorie, df die Freiheitsgrade, F die F-Statistik aus der berechneten Varianzanalyse und p der p-Wert.