Friedman Test

Der Friedman-Test ist ein nichtparametrischer Test zur Analyse von Daten mit wiederholten Messungen. Er wird hauptsächlich verwendet, wenn die Annahmen der Normalität und der Varianzhomogenität nicht erfüllt sind, und stellt somit eine robuste Alternative zur ANOVA mit Messwiederholung dar.

Was ist noch mal eine abhängige Stichprobe (wiederholte Messungen)? Bei einer abhängigen Stichprobe sind die Messwerte verbundene. Wird z.B. eine Stichprobe von Personen gezogen, die eine Knieoperation haben und diese Personen werden jeweils vor der Operation und eine und zwei Wochen nach der Operation befragt, handelt es sich um eine abhängige Stichprobe. Dieses ist der Fall, da ein und dieselbe Person zu mehreren Zeitpunkten befragt wurde.

Friedman Test vs. ANOVA mit Messwiederholung

Jetzt könntest du zurecht sagen, genau das Gleiche testet doch auch die Varianzanalyse mit Messwiederholungen, die prüft doch auch ob es einen Unterschied zwischen drei oder mehr abhängigen Stichproben gibt?

Das ist richtig, der Friedman Test ist das nichtparametrische Gegenstück zur Varianzanalyse mit Messwiederholungen. Aber was ist der Unterschied zwischen den beiden Tests?

Die Varianzanalyse prüft, inwieweit sich die Messwerte der abhängigen Stichprobe unterscheiden. Beim Friedman Test hingegen werden nicht die tatsächlich gemessenen Werte verwendet, sondern die Ränge.

Der Zeitpunkt, wo eine Person den höchsten Wert hat, bekommt Rang 1, der Zeitpunkt mit dem zweithöchsten Wert bekommt Rang zwei und der Zeitpunkt mit dem kleinsten Wert bekommt Rang 3. Dieses wird nun für alle Personen bzw. für alle Reihen gemacht. Anschließend werden die Ränge von den einzelnen Zeitpunkten aufsummiert.

Bei dem ersten Zeitpunkt erhalten wir eine Summe von 7, beim zweiten Zeitpunkt erhalten wir eine Summe von 8 und beim dritten eine Summe von 9. Nun kann geprüft werden, wie stark sich diese Rangsummen unterscheiden.

Warum werden Ränge verwendet? Der riesen Vorteil ist, das wenn man nicht den Mittelwertsunterschied betrachtet, sondern die Rangsumme, dass die Daten dann nicht normalverteilt sein müssen.

Vereinfacht gesagt: Sind deine Daten normalverteilt, werden parametrische Tests verwendet. Bei mehr als zwei abhängigen Stichproben ist das die ANOVA mit Messwiederholung.

Sind deine Daten nicht normalverteilt, werden nicht-parametrische Tests verwendet. Bei mehr als zwei abhängigen Stichproben ist das der Friedman Test.

Hypothesen beim Friedman-Test

Damit kommen wir nun zur Forschungsfrage, die du mit dem Friedman Test beantworten kannst. Die Forschungsfrage ist, gibt es einen signifikanten Unterschied zwischen mehr als zwei abhängigen Gruppen? Bei dem Friedman-Test ergeben sich die Nullhypothese und die zu:

• Nullhypothese: Es gibt keine signifikanten Unterschiede zwischen den abhängigen Gruppen
• Alternativhypothese: Es gibt einen signifikanten Unterschied zwischen den abhängigen Gruppen.

Natürlich, wie schon gesagt, werden beim Friedman Test nicht die wahren Werte verwendet, sondern die Ränge.

Friedman-Test Beispiel

Es könnte dich interessieren, ob eine Therapie nach einem Bandscheibenvorfall einen Einfluss auf das Schmerzempfinden der Patienten hat. Hierfür misst du einmal das Schmerzempfinden vor der Therapie, in der Mitte der Therapie und am Ende der Therapie. Nun möchtest du wissen, ob es einen Unterschied zwischen den verschiedenen Zeitpunkten gibt.

Also, deine unabhängige Variable ist die Zeit bzw. die mit der Zeit fortschreitende Therapie. Deine abhängige Variable ist das Schmerzempfinden. Du hast nun von jeder Person über die Zeit einen Verlauf vom Schmerzempfinden und möchtest nun wissen, ob die Therapie einen Einfluss auf das Schmerzempfinden hat.

Vereinfacht gesagt, in diesem Fall hat die Therapie einen Einfluss und in diesem Fall hat die Therapie keinen Einfluss auf das Schmerzempfinden. Im zeitlichen Verlauf ändert sich hier das Schmerzempfinden nicht, in diesem Fall schon.

Friedman Test berechnen

Sagen wir, du möchtest untersuchen, ob es morgens, mittags und abends einen Unterschied in der Reaktionsfähigkeit von Personen gibt. Hierfür hast du von 7 Personen morgens, mittags und abends die Reaktionsfähigkeit gemessen.

Im ersten Schritt müssen wir den Werte Ränge zuordnen. Hierfür schauen wir uns jede Reihe separat an.

In der ersten Reihe bzw. bei der ersten Person ist 45 der größte Wert, dieser bekommt den Rang 1, danach kommt 36 mit Rang 2 und 34 mit Rang 3. Das gleiche machen wir nun für die zweite Reihe. Hier ist 36 der größte Wert und bekommt Rang 1, dann kommt 33 mit Rang 2 und 31 mit Rang 3. Das machen wir nun für jede Reihe.

Anschließend können wir für jeden Zeitpunkt die Rangsumme bilden, also wir summieren einfach alle Ränge zu einem Zeitpunkt auf. Morgens erhalten wir 17, mittags 11 und abends 14.

Wenn es keinen Unterschied zwischen den verschiedenen Zeitpunkten in Bezug auf die Reaktionszeit gäbe, würden wir bei allen Zeitpunkten den Erwartungswert erwarten. Der Erwartungswert ergibt sich mit dieser Formel und ist in diesem Fall 14. Also wenn es keinen Unterschied zwischen morgens, mittags und abends gibt, würden wir eigentlich bei allen 3 Zeitpunkten eine Rangsumme von 14 erwarten.

Als Nächstes können wir uns den Chi² Wert ausrechnen, den erhalten wir mit dieser Formel. N ist die Anzahl der Personen also 7, k ist die Anzahl der Zeitpunkte also 3 und die Summe von R² ergibt sich mit 17² + 11² + 14². Damit erhalten wir ein Chi² Wert von 2,57.

Nun brauchen wir nur noch die Anzahl der Freiheitsgrade. Diese ergibt sich mit der Anzahl der Zeitpunkte minus 1, also in unserem Fall 2.

Nun können wir in der Tabelle der kritischen Chi² Werte den kritischen Chi² Wert ablesen. Hierfür nehmen wir das vorherfestgelegt Signifikanzniveau, sagen wir das ist 0,05 und die Anzahl der Freiheitsgrade. Heir können wir ablesen, dass der kritische Chi² Wert 5,99 ist. Dieser ist größer als unser berechneter Wert. Damit wird die Nullhypothese nicht abgelehnt und anhand von diesen Daten gibt es keinen Unterschied zwischen der Reaktionsfähigkeit zu den verschiedenen Zeitpunkten. Wäre der berechnete Chi² wert größer als der kritische, würden wir die Nullhypothese ablehnen.

Friedman Test mit DATAtab berechnen

Für die Berechnung des Friedman Tests kannst du einfach DATAtab verwenden. Hierfür gehst du einfach auf den Friedman-Test Rechner auf DATAtab und kopierst deine eigenen Daten in die Tabelle im Statistik Rechner.

Nun bekommen wir die Ergebnisse für den Friedman Test ausgegeben.

Zunächst bekommst du die deskriptiven Statistiken ausgegeben. Anschließend kannst du den p-Wert ablesen. Wenn du nicht genau weißt, wie du den p-Wert interpretierst, kannst du dir einfach die Interpretation in Worten anschauen. Ein Friedman Test hat ergeben, dass es keinen signifikanten Einfluss zwischen den Variablen gibt: Chi² = 2,57, p = 0,276

Wenn dein p-Wert größer als dein festgelegtes Signifikanzniveau ist, dann wird deine Nullhypothese beibehalten. Die Nullhypothese ist, dass es keinen Unterschied zwischen den Gruppen gibt. In der Regel wird ein Signifikanzniveau von 0.05 verwendet, dieser p-Wert ist damit also größer als 0,05.

Post-Hoc-Test

Zusätzlich gibt dir DATAtab noch den Post-Hoc-Test aus. Wenn dein p-Wert kleiner als 0.05 ist, kannst du hier untersuchen, welche der Gruppen sich wirklich unterscheiden!

Hierbei wird in jeder Reihe jeweils zwei Gruppen betrachtet und es wird die Nullhypothese geprüft, ob beide Stichproben gleich sind, der "Anp. p-Wert" ergibt sich durch die Multiplikation des p-Wertes mit der Anzahl der Tests.

Ist bei dem Post-Hoc-Test der anp. p-Wert kleiner als 0,05 wird davon ausgegengen, dass sich diese Gruppen unterscheiden.