Pearson Korrelation

Die Pearson-Korrelationsanalyse untersucht den Zusammenhang zwischen zwei Variablen. Zum Beispiel: Gibt es einen Zusammenhang zwischen dem Alter und dem Gehalt einer Person?

Genauer gesagt, können wir mit Hilfe der Korrelationsanalyse nach Person den linearen Zusammenhang zwischen zwei Variablen messen.

Stärke und Richtung der Korrelation

Mit einer Korrelationanalyse können wir bestimmen:

• Wie stark der Zusammenhang ist
• und in welche Richtung der Zusammenhang geht.

Stärke und Richtung des Zusammenhangs können wir in dem Pearson-Korrelationskoeffizient r ablesen. Der Pearson-Korrelationskoeffizien schwankt zwischen -1 und 1.

Stärke des Zusammenhangs

Die Stärke des Zusammenhangs, kann in einer Tabelle abgelesen werden.Bei einem Betrag von r zwischen 0 und 0,1 spricht man von keinem Zusammenhang. Bei einem Betrag von r zwischen 0,7 und 1 spricht man von einem sehr starken Zusammenhang.

Richtung des Zusammenhangs

Ein positiver Zusammenhang bzw. eine positive Korrelation liegt vor, wenn große Werte von einer Variablen mit großen Werten der anderen Variablen einhergehen, bzw. wenn kleine Werte der einen Variablen mit kleinen Werten der anderen Variablen einhergehen.

Eine positive Korrelation ergibt sich zum Beispiel bei der Körpergröße und der Schuhgröße. Es ergibt sich ein positiver Korrelationskoeffizient.

Ein negativer Zusammenhang bzw. eine negative Korrelation liegt vor, wenn große Werte der einen Variablen mit kleinen Werten der anderen Variablen einhergehen und andersherum.

Eine negative Korrelation ergibt sich in der Regel zwischen Produkt Preis und der Absatzmenge. Es ergibt sich ein negativer Korrelationskoeffiziente.

Pearson-Korrelation berechnen

Der Pearson- Korrelationskoeffizient ergibt sich über folgende Gleichung. Dabei ist r der Pearson-Korrelationskoeffizient, x_i sind die einzelnen Werte der einen Variable z.B. dem Alter, y_i sind die einzelnen Werte der anderen Variable z.B. dem Gehalt und x̄ und ȳ sind jeweils die Mittelwerte der beiden Variablen.

In der Gleichung können wir sehen, dass von beiden Variablen zunächst der jeweilige Mittelwert abgezogen wird.

Also in unserem Beispiel berechnen wir die Mittelwerte von Alter und Gehalt. Die Mittelwerte ziehen wir dann jeweils von dem Alter und dem Gehalt der einzelnen Personen ab. Beide Werte multiplizieren wir dann. Anschließend summieren wir die einzelnen Ergebnis der Multiplikation auf. Der Ausdruck im Nenner stellt sicher, dass der Korrelationskoeffizient zwischen -1 und 1 skaliert wird.

Wenn wir nun zwei positive Werte multiplizieren erhalten wir einen positiven Wert. Wenn wir zwei negative Werte multiplizieren erhalten wir auch einen positiven Wert (minus mal minus ist plus). Also alle Werte die in diesen Bereichen liegen haben einen positiven Einfluss auf den Korrelationskoeffizienten.

Wenn wir einen positiven Werte und einen negativen Wert multiplizieren erhalten wir einen negativen Wert (Minus mal plus ist Minus) . Also alle Werte die in diesen Bereichen liegen haben einen negativen Einfluss auf den Korrelationskoeffizienten.

Daher, wenn unsere Werte überwiegend in den grünen beiden Bereichen liegen, erhalten wir einen positiven Korrelationskoeffizienten und damit einen positiven Zusammenhang.

Wenn unsere Werte überwiegend in den roten beiden Bereichen liegen, erhalten wir einen negativen Korrelationskoeffizienten und damit einen negativen Zusammenhang.

Sind die Punkte auf alle vier Bereiche verteilt, heben sich die positiven Terme und die negativen Terme auf und wir erhalten eine sehr kleine oder keine Korrelation.

Korrelationskoeffizienten auf Signifikanz prüfen

So gut wie immer wird der Korrelationskoeffizienten mit Daten aus einer Stichprobe berechnet. In den meisten Fällen möchten wir aber eine Hypothese über die Grundgesamtheit prüfen.

Im Falle der Korrelationsanalyse wollen wir dann wissen, ob es einen Zusammenhang in der Grundgesamtheit gibt.

Hierfür prüfen wir, ob der Korrelationskoeffizient in der Stichprobe statistisch signifikant von Null abweicht.

Hypothesen bei der Korrelationsanalyse nach Person

Die Nullhypothese und die Alternativhypothese bei der Pearson-Korrelation ist damit:

• Nullhypothese: Der Korrelationskoeffizienten weicht nicht signifikant von Null ab (Es gibt keinen linearen Zusammenhang).
• Alternativhypothese: Der Korrelationskoeffizienten weicht signifikant von Null ab (Es gibt einen linearen Zusammenhang).

Achtung: Es wird immer geprüft, ob die Nullhypothese verworfen oder nicht verworfen wird.

In unserem Beispiel mit dem Gehalt und dem Alter einer Person könnten wir damit die Fragestellung haben: Gibt es in der deutschen Bevölkerung (die Grundgesamtheit) einen Zusammenhang zwischen Alter und Gehalt?

Um das heraus zu finden ziehen wir eine Stichprobe und prüfen, ob in dieser Stichprobe der Korrelationskoeffizient signifikant von Null abweicht.

• Die Nullhypothese ist dann: Es gibt keinen Zusammenhang zwischen dem Gehalt und dem Alter in der deutschen Bevölkerung.
• und die Alternativhypothese: Es gibt einen Zusammenhang zwischen dem Gehalt und dem Alter in der deutschen Bevölkerung.

Signifikanz und der t-Test

Ob der Pearson-Korrelationskoeffiziente ausgehend von der erhobenen Stichprobe signifikant von Null abweicht, kann mit Hilfe eines t-Tests überprüft werden. Hierbei ist r der Korrelationskoeffizient und n die Stichprobengröße

Aus der Test-Statistik t kann dann ein p-Wert berechnet werden. Ist der p-Wert kleiner als das festgelegt Signifikanzniveau, welches meistens 5% ist, dann wird die Nullhypothese abgelehnt, sonst nicht.

Voraussetzungen der Pearson Korrelation

Aber was ist mit den Voraussetzungen für eine Pearson Korrelation? Hier müssen wir unterscheiden, ob wir lediglich den Pearson-Korrelationskoeffizienten berechnen möchten, oder ob wir eine Hypothese prüfen möchten.

Um den Pearson-Korrelationskoeffizienten zu berechnen müssen lediglich zwei metrische Variablen vorliegen. Metrische Variablen sind z.B. das Gewicht einer Person,das Gehalt einer Person oder der Stromverbrauch.

Der Pearson-Korrelationskoeffizient, sagt uns dann, wie groß der lineare Zusammenhang ist. Gibt es einen nichtlinearen Zusammenhang, können wir diesen nicht aus dem Pearson Korrelationskoeffizient ablesen.

Wenn wir jedoch prüfen möchten, ob der Pearson-Korrelationskoeffizient in der Stichprobe signifikant von Null abweicht, wir also eine Hypothese prüfen möchten, müssen die beiden Variablen zusätzlich normalverteilt sein!

Ist das nicht gegeben, kann die berechnete Teststatistik t bzw. der p-Wert nicht verlässlich interpretiert werden. Wenn die Voraussetzungen nicht erfüllt sind, kann die Rangkorrelation nach Spearman verwendet werden.

Person Korrelation online mit DATAtab berechnen

Wenn du magst kannst du natürlich eine Korrelationsanalyse online mit DATAtab berechne Hierfür kopiere einfach deine Daten in diese Tabelle in den Statistik Rechner und klicke entweder auf den Tab Hypothesen oder Korrelation.

Wenn du nun zwei metrische Variablen anblickst, wird dir automatisch eine Pearson Korrelation berechnet. Wenn du nicht genau weißt, wie du die Ergebnisse interpretieren musst, kannst du auch einfach auf Zusammenfassung in Worten klicken!