Konfidenzintervall

Was ist das Konfidenzintervall?

Das Konfidenzintervall KI ist der Bereich, in dem ein Parameter (z. B. der Mittelwert) mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit liegt.

Wenn mehrere Stichproben aus einer Grundgesamtheit gezogen werden, ist es sehr wahrscheinlich, dass jede Stichprobe einen anderen Mittelwert aufweist. Man möchte aber den Mittelwert der Grundgesamtheit kennen und nicht den der Stichprobe. Das Konfidenzintervall gibt nun den Bereich an, in dem der wahre Mittelwert der Grundgesamtheit mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit liegt.

Achtung! Die obige Erklärung ist weit verbreitet, weil sie einfach zu verstehen ist, aber nicht alle Experten halten sie für richtig. Richtig, aber komplizierter ist die folgende Definition:

Wozu brauchen wir das Konfidenzintervall?

In der Statistik werden häufig Parameter der Grundgesamtheit anhand einer Stichprobe geschätzt, z. B. der Mittelwert oder die Varianz. Dies sind jedoch nur Schätzungen und der wahre Wert in der Grundgesamtheit wird irgendwo um diese Schätzungen herum liegen. Es ist sehr nützlich, einen Bereich oder ein Intervall zu definieren, in dem der wahre Wert mit hoher Wahrscheinlichkeit liegt.

Konfidenzintervall berechnen

Zur Berechnung des Konfidenzintervalls wird die Verteilungsfunktion des betreffenden Parameters (z. B. des Mittelwerts) in der Grundgesamtheit benötigt. Nimmt man an, dass diese Verteilung normalverteilt ist, so ergibt sich das Konfidenzintervall für den Mittelwert mit:

Dabei ist x̄ der Mittelwert der Stichprobe, n der Stichprobenumfang und s die Standardabweichung der Stichprobe. Plus und Minus geben die untere bzw. obere Grenze des Konfidenzintervalls an.

Wenn die Stichprobe klein ist, wird anstelle der Normalverteilung die t-Verteilung verwendet. Dann wird der z-Wert durch t ersetzt und die Formel lautet

Konfidenzintervall 95%

Für die Berechnung des Konfidenzintervalls muss die Wahrscheinlichkeit festgelegt werden, mit der der Mittelwert der Grundgesamtheit innerhalb des Intervalls liegt. Als Wahrscheinlichkeit wird sehr häufig das Konfidenzniveau von 95% oder 99% verwendet. Diese Wahrscheinlichkeit wird auch als Konfidenzkoeffizient bezeichnet.

Für das 95% Konfidenzintervall und das 99% Konfidenzintervall ergeben sich die folgende z-Werte:

Wenn ein Konfidenzintervall von 95 % angegeben wird, kann man zu 95 % sicher sein, dass der wahre Wert des Parameters innerhalb dieses Intervalls liegt.

Konfidenzintervall beim t-Test

Ein t-Test vergleicht Mittelwertsunterschiede, z.B. kannst du mit einem t-Test prüfen, ob es einen Unterschied im Gehalt zwischen Männern und Frauen gibt.

Du möchtest eigentlich eine Aussage treffen, ob es in der Grundgesamtheit einen Unterschied im Gehalt gibt. Da du nicht die gesamte Grundgesamtheit befragen kannst, verwendest du eine Stichprobe. In dieser Stichprobe gibt es mit hoher Wahrscheinlichkeit einen Unterschied im Gehalt.

Damit du ungefähr einschätzen kannst, in welchen Bereich der Mittelwertsunterschied in der Grundgesamtheit liegt, berechnest du das Konfidenzintervall.

Im t-Test Rechner auf DATAtab kannst du dir das Konfidenzintervall vom Mittelwertsunterschied berechnen lassen.