Konfidenzintervall

Was ist das Konfidenzintervall?

Das Konfidenzintervall KI ist der Bereich, in dem ein Parameter (z. B. der Mittelwert) zu einer gewissen Wahrscheinlichkeit liegt.

Werden mehrere Stichproben aus einer Grundgesamtheit gezogen, wird es sehr wahrscheinlich sein, dass in jeder Stichprobe ein anderer Mittelwert vorkommt. Nun möchte man eigentlich den Mittelwert der Grundgesamtheit wissen und nicht den der Stichprobe. Das Konfidenzintervall gibt nun den Bereich an, in dem der wahre Mittelwert der Grundgesamtheit zu einer gewissen Wahrscheinlichkeit liegt.

Achtung! Die obere Erklärung ist weit verbreitet, da sie einfach zu verstehen ist, jedoch wird sie nicht von allen Experten als korrekt angesehen. Richtig, aber komplizierter ist die folgende Definition:

Wofür brauche ich das Konfidenzintervall?

In der Statistik werden oft Parameter der Grundgesamtheit aufgrund einer Stichprobe geschätzt, z. B. der Mittelwert oder die Varianz. Dieses sind aber nur Schätzungen und der wahre Wert in der Grundgesamtheit wird irgendwo um diese Schätzungen liegen. Nun ist es sehr nützlich, einen Bereich bzw. ein Intervall zu definieren, in dem der wahre Wert mit einer hohen Wahrscheinlichkeit liegen wird, dieser Bereich wird Konfidenzintervall genannt.

Konfidenzintervall berechnen

Um das Konfidenzintervall zu berechnen, wird die Verteilungsfunktion des jeweiligen Parameters (z. B. dem Mittelwert) in der Grundgesamtheit benötigt. Wird diese Verteilung als normalverteilt angenommen, ergibt sich das Konfidenzintervall für den Mittelwert mit:

Hierbei ist x̄ der Mittelwert der Stichprobe, n die Größe der Stichprobe und s die Standardabweichung der Stichprobe. Plus und Minus gibt jeweils die untere und die obere Grenze des Konfidenzintervalls an.

Wenn die Stichprobe klein ist, wird anstatt der Normalverteilung die t-Verteilung verwendet. Dann wird der z-Wert durch den t ausgetauscht und die Formel ergibt sich zu

Konfidenzintervall 95%

Für die Berechnung des Konfidenzintervalls muss die Wahrscheinlichkeit definiert werden, mit welcher der Mittelwert der Grundgesamtheit in dem Intervall liegen soll. Als Wahrscheinlichkeit wird sehr oft das Konfidenzniveau von 95% oder 99% verwendet. Diese Wahrscheinlichkeit bezeichnet man auch als Konfidenzkoeffizienten.

Für das 95% Konfidenzintervall und das 99% Konfidenzintervall ergeben sich die folgende z-Werte:

Wird ein Konfidenzintervall von 95% angegeben, kann man sich zu 95% sicher sein, das der wahre Parameter Wert in diesem Intervall liegt.

Konfidenzintervall beim t-Test

Ein t-Test vergleicht Mittelwertsunterschiede, z.B. kannst du mit einem t-Test prüfen, ob es einen Unterschied im Gehalt zwischen Männern und Frauen gibt.

Du möchtest eigentlich eine Aussage treffen, ob es in der Grundgesamtheit einen Unterschied im Gehalt gibt. Da du nicht die gesamte Grundgesamtheit befragen kannst, verwendest du eine Stichprobe. In dieser Stichprobe gibt es mit hoher Wahrscheinlichkeit einen Unterschied im Gehalt.

Damit du ungefähr einschätzen kannst, in welchen Bereich der Mittelwertsunterschied in der Grundgesamtheit liegt, berechnest du das Konfidenzintervall.

Im t-Test Rechner auf DATAtab kannst du dir das Konfidenzintervall vom Mittelwertsunterschied berechnen lassen.