Mann-Whitney U-Test

Mit dem Mann-Whitney U-Test kann getestet werden, ob es einen Unterschied zwischen zwei Gruppen gibt, wobei die Daten nicht normalverteilt sein müssen. Um diesen Unterschied festzustellen, werden die Rangsummen der beiden Gruppen verwendet, und nicht die Mittelwerte wie beim t-Test für unabhängige Stichproben.

Der U-Test von Mann-Whitney ist damit das nicht-parametrische Gegenstück zum t-Test für unabhängige Stichproben. Er unterliegt weniger strengen Anforderungen als der t-Test. Daher kommt der Mann-Whitney U-Test immer dann zur Anwendung, wenn die Voraussetzung der Normalverteilung für den t-Test nicht erfüllt ist.

Voraussetzungen Mann-Whitney U-Tests

Um einen Mann-Whitney-U-Test berechnen zu können, müssen lediglich zwei unabhängige Zufallsstichproben mit zumindest ordinalskalierten Merkmalen vorliegen. Die Variablen müssen keine Verteilungskurve erfüllen.

Wenn die Daten paarweise vorliegen (=abhängige Stichproben), muss der Wilcoxon-Test anstelle des Mann-Whitney U-Tests verwendet werden.

Hypothesen beim Mann-Whitney U-Tests

Die Hypothesen beim U-Test nach Mann-Whitney sind sehr ähnlich der Hypothesen des unabhängigen t-Test. Der Unterschied ist jedoch, dass im Falle des Mann-Whitney U-Tests nach einem Unterschied in der zentralen Tendenz geprüft wird, beim t-Test nach einem Unterschied in den Mittelwerten. Damit ergibt sich beim Mann-Whitney U-Tests:

• Nullhypothese: Es gibt keinen Unterschied (in Bezug auf die zentrale Tendenz) der beiden Gruppen in der Grundgesamtheit.
• Alternativhypothese: Es gibt einen Unterschied (in Bezug auf die zentrale Tendenz) der beiden Gruppen in der Grundgesamtheit.

Mann-Whitney U-Test berechnen

Um den Mann-Whitney U-Test für zwei unabhängige Stichproben zu berechnen, müssen zunächst die Rangplätze der einzelnen Werte bestimmt werden (Ein Beispiel mit verbundenen Rängen kommt weiter unten).

Diese Rangplätze werden dann jeweils für die beiden Gruppen aufsummiert. In dem oberen Beispiel ergibt sich die Rangsumme T₁ der Frauen mit 37 und die Rangsumme der Männer T₂ mit 29. Der Durchschnittswert der Rangplätze liegt damit bei Frauen zu R̄₁= 6,17 und für Männer mit R̄₂= 5,80. Der Unterschied zwischen R̄₁ und R̄₂ zeigt nun auf, ob es mögliche Unterschiede zwischen der Reaktionszeit gibt. Im nächsten Schritt werden aus den Rangsummen T₁ und T₂ die U-Werte berechnet

wobei n₁, n₂ die Anzahl der Elemente in der ersten bzw. zweiten Gruppe sind. Wenn beide Gruppen aus der gleichen Grundgesamtheit stammen, sich die Gruppen also nicht unterscheiden, dann ergibt sich für beide U-Werte der Wert Erwartungswert von U. Nachdem der Mittelwert und die Streuung geschätzt worden sind, kann z berechnet werden. Für den Mann-Whitney U Wert wird der kleinere Wert von U₁ und U₂ verwendet.

Je nachdem, wie groß die Stichprobe ist, wird der p-Wert für den Mann-Whitney U-Test auf unterschiedliche Weise berechnet. Für bis zu 25 Fälle werden die exakten Werte verwendet, die aus einer Tabelle abgelesen werden können. Bei größeren Stichproben kann die Normalverteilung als Annährung verwendet werden.

Hinweis: Im vorliegenden Beispiel würde man daher eigentlich den exakten Wert nehmen, wir gehen hier dennoch den Weg über die Normalverteilung. Hierfür fügst du einfach den z-Wert in den z-Wert zu p-Wert Rechner von DATAtab ein.

Ist der berechnete z-Wert größer als der kritische z-Wert unterscheiden sich die beiden Gruppen.

Mann-Whitney U-Test mit verbundenen Rängen berechnen

Wenn sich mehrere Personen einen Rangplatz teilen, liegen verbundene Ränge vor. In diesem Fall ergibt sich eine Änderung in der Berechnung der Rangsummen und der Standardabweichung des U-Wertes. Beides gehen wir nun wieder an einem Beispiel durch.

In dem Beispiel ist zu sehen, dass die...

• ...Reaktionszeiten 34 zweimal vorkommen und sich die Ränge 2 und 3 teilen
• ...Reaktionszeiten 39 dreimal vorkommen und sich die Ränge 6, 7 und 8 teilen

Um diese verbundenen Ränge zu berücksichtigen, werden jeweils die Mittelwerte der verbundenen Ränge berechnet. Im ersten Fall ergibt sich damit ein "neuer" Rang von 2,5 und im zweiten Fall ein "neuer" Rang von 7. Nun kann man die Rangsummen T berechnen.

Da in der oberen Tabelle die Rangbindungen gut ersichtlich sind, wird hier schon mal ein Term berechnet, der für die spätere Berechnung der Steuerung von dem u-Wert bei vorliegen von Rangbindungen benötigt wird.

Nun stehen alle Werte zur verfühgung, um den z-Wert unter Berücksichtungung von verbundenen Rängen zu berechnen.

Wieder mit dem Hinweis, dass man eigentlich ca. 20 Fälle benötig, um Normalverteilung der u-Werte an zu nehmen.

Beispiel mit DATAtab

Ein Mann-Whitney U-Test kann ganz einfach mit DATAtab berechnet werden. Kopiere dazu die untenstehende Tabelle oder deine eigenen Daten in den Statistik Rechner und klicke auf Hypothesentests Anschließend klickst du die beiden Variablen an und wählst nicht-parametrische Tests aus.

DATAtab gibt dir dann für den Mann-Whitney U Test die folgende Tabelle aus.

Der Mann-Whitney-U-Test arbeitet mit Rängen, daher werden im Ergebnis zunächst die mittleren Ränge und die Rangsumme angezeigt. Die Reaktionszeit der Frauen hat einen leicht niedrigeren Wert als jene der Männer.

DATAtab gibt dir die asymptotische Signifikanz und die exakte Signifikanz aus. Welche Signifikanz verwendet wird, hängt von der Stichprobengröße ab. Als Regel gilt:

• n₁ + n₂ < 30 exakte Signifikanz
• n₁ + n₂ > 30 asymptotische Signifikanz

Daher wird für dieses Beispiel die exakte Signifikanz verwendet. Die Signifikanz (2-seitig) liegt bei 0,931 und damit über dem Signifikanzniveau von 0,05. Daher kann mit diesen Daten kein Unterschied zwischen der Reaktionszeit von Männern und Frauen festgestellt werden.

Mann-Whitney-U-Test interpretieren

Die Reaktionszeit der Frauen-Gruppe hatte gleich hohe Werte (Mdn = 39) wie die Reaktionszeit der Männer-Gruppe (Mdn = 39). Der Mann-Whitney U Test zeigte, dass dieser Unterschied statistisch nicht signifikant war, U=14, p=0,931, r= 0,06.

Mann-Whitney-U-Test Effektstärke

Um eine Aussage über die Effektstärke beim Mann-Whitney U Test zu treffen, benötigen wir den Z-Wert und n. Damit können wir dann mit der untenstehenden Formel die Effektstärke ausrechnen.

In diesem Fall ergibt sich eine Effektstärke r von 0,06. Generell lässt sich über die Effektstärke sagen:

• Effektstärke r kleiner als 0,3 kleiner Effekt
• Effektstärke r zwischen 0,3 und 0,5 mittlerer Effekt
• Effektstärke r größer als 0,5 großer Effekt

Damit liegt in diesem Fall mit einer Effektstärke von 0,012 ein kleiner Effekt vor.