Kruskal-Wallis-Test
Was ist der Kruskal-Wallis-Test?
Der Kruskal-Wallis-Test (H-Test) ist ein nichtparametrischer statistischer Test, mit dem drei oder mehr unabhängige Gruppen verglichen werden können. Er ist eine Erweiterung des Mann-Whitney-U-Tests, der für den Vergleich von zwei Gruppen verwendet wird.
Der Kruskal-Wallis-Test ist ein Hypothesentest für mehrere unabhängige Stichproben, der dann verwendet wird, wenn die Voraussetzungen für eine einfaktorielle Varianzanalyse nicht erfüllt sind.
Der Kruskal-Wallis-Test wird verwendet, wenn die Voraussetzungen für eine einfaktorielle Varianzanalyse nicht erfüllt sind. Da es sich bei dem Kruskal-Wallis-Test um einen nichtparametrischen Test handelt, müssen die verwendeten Daten nicht normalverteilt sein. Die einzige Voraussetzung ist, dass die Daten ordinales Skalenniveau aufweisen.
Beim Kruskal-Wallis-Test reichen ordinale Variablen aus, da bei nichtparametrischen Verfahren nicht die Differenzen der Werte verwendet werden, sondern die Rangplätze (welcher Wert ist größer, welcher ist kleiner). Daher wird der Kruskal-Wallis-Test auch oft Rangvarianzanalyse nach Kruskal und Wallis genannt.
Beispiele für den Kruskal-Wallis-Test
Für den Kruskal-Wallis-Test können natürlich die gleichen Beispiele wie bei der einfaktoriellen ANOVA verwendet werden, jedoch mit dem Zusatz, dass die Daten nicht normalverteilt sein müssen.
Medizinisches Beispiel:
Für eine Pharma-Firma möchtest du prüfen, ob ein Medikament XY einen Einfluss auf das Körpergewicht hat. Hierzu wird jeweils 20 ProbandInnen das Medikament verabreicht, 20 ProbandInnen erhalten ein Placebo und 20 ProbandInnen bekommen keine Medikamente bzw. Placebo.
Sozialwissenschaftliches Beispiel:
Unterscheiden sich drei Altersgruppen in Bezug auf den täglichen Fernsehkonsum?
Fragestellung und Hypothesen beim Kruskal-Wallis-Test
Die Fragestellung beim Kruskal-Wallis-Test kann lauten: Gibt es einen Unterschied in der zentralen Tendenz mehrerer unabhängiger Stichproben? Aus dieser Fragestellung ergeben sich dann die Null und Alternativhypothese.
Nullhypothese
Die unabhängigen Stichproben haben alle die gleiche zentrale Tendenz und stammen daher aus der gleichen Grundgesamtheit.
Alternativhypothese
Mindestens eine der unabhängigen Stichproben hat nicht die gleiche zentrale Tendenz wie die anderen und stammt daher aus einer anderen Grundgesamtheit.
Median vs. Rangsummen
Der Kruskal-Wallis-Test testet eigentlich auf Unterschiede in den Rangsummen der Gruppen, nicht direkt auf die Mediane. Diese Unterscheidung ist wichtig und sollte klargestellt werden:
Rangsummen
Beim Kruskal-Wallis-Test werden alle Daten aus allen Gruppen zusammengerechnet. Jeder Wert wird durch seinen Rang im kombinierten Datensatz ersetzt. Der Test summiert dann diese Ränge für jede Gruppe. Die Nullhypothese des Kruskal-Wallis-Tests lautet, dass der mittlere Rang der Gruppen derselbe ist. Dies ist etwas anderes als die Aussage, dass die Mediane gleich sind, obwohl es eine Beziehung zwischen den beiden gibt.
Median
Der Test wird zwar häufig als Indikator für Unterschiede in den Medianen verwendet (insbesondere, wenn die Verteilungen ähnlich sind), aber streng genommen werden die Mediane nicht direkt getestet. Der Grund dafür ist, dass bei ähnlichen Verteilungen die Unterschiede in den Mittelwerten auch Unterschiede in den Medianen implizieren.
Zusammenfassung
Zusammenfassend lässt sich sagen, dass der Kruskal-Wallis-Test eine nicht-parametrische Methode ist, um zu prüfen, ob die Stichproben aus der gleichen Verteilung stammen. Er testet, ob die mittleren Ränge in den Gruppen gleich sind, was häufig als Test auf Unterschiede in den Medianen interpretiert wird, insbesondere wenn die Verteilungsformen in den Gruppen ähnlich sind.
Voraussetzungen für den Kruskal-Wallis-Test
Um einen Kruskal-Wallis-Test zu berechnen, müssen lediglich mehrere unabhängige Zufallsstichproben mit zumindest ordinalskalierten Merkmalen vorliegen. Die Variablen müssen keine Verteilungskurve erfüllen.
Wenn du eine abhängige Stichprobe hast, dann verwendest du einfach den Friedman-Test.
Kruskal-Wallis-Test berechnen
Die Berechnung der Rangvarianzanalyse nach Kruskal und Wallis ist ähnlich jener des Mann-Whitney U Tests, der das nichtparametrische Gegenstück zum t-Test für unabhängige Stichproben ist.
Sagen wir, es gilt die Nullhypothese und es gibt damit keinen Unterschied zwischen den unabhängigen Stichproben. Dann verteilen sich hohe und geringe Ränge zufällig auf die Stichproben und sollten sich gleich über die Gruppen verteilen. Daher ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Rang einer Gruppe zugewiesen wird, für alle Gruppen die gleiche (Bühner & Ziegler ,2017).
Wenn es keinen Unterschied zwischen den Gruppen gibt, müsste auch der Mittelwert der Rangplätze in allen Gruppen der gleiche sein. Der Erwartungswert der Rangplätze ergibt sich dann für jede Gruppe zu
Jede Stichprobe hat somit den gleichen Erwartungswert der Rangplätze, welcher dem Erwartungswert der Grundgesamtheit entspricht. Des Weiteren wird noch die Varianz der Ränge benötigt, diese kann mit der folgenden Formel berechnet werden:
Beim Kruskal-Wallis-Test wird die Prüfgröße H berechnet. Der H-Wert entspricht dem χ2 Wert. Der H-Wert ergibt sich aus:
Der kritische H-Wert kann aus der Tabelle der kritischen χ2 Werte abgelesen werden. Hiefür muss der kritische χ2 für das festgelegt Signifikanzniveau abgelesen werden.
Wird eine Statistik Software wie DATAtab verwendet, kann der p-Wert direkt in der Software abgelesen werden und der kritische χ2 Wert muss nicht aus der Tabelle abgelesen Werden, mehr dazu weiter unten.
Berechnung mit Beispieldaten
Sagen wir, du hast die Reaktionszeit von drei Gruppen gemessen und möchtest wissen, ob es einen Unterschied zwischen ihnen gibt. Um das herauszufinden, verwendest du nun den H-Test (Kruskal-Wallis-Test)
Zunächst ordnen wir jeder Person einen Rang zu, anschließend berechnen wir die Rangsumme und die mittlere Rangsumme.
Wir haben bei zwölf Personen die Reaktionszeit gemessen, daher ist die Anzahl der Fälle zwölf. Die Freiheitsgrade ergeben sich durch die Anzahl der Gruppen minus eins, also haben wir zwei Freiheitsgrade.
Nun haben wir alle Werte errechnet, um die Prüfgröße H zu berechnen.
Nachdem der H-Wert bzw. der Chi-Quadrat Wert berechnet worden, kann der kritische Chi-Quadrat Wert aus der Tabelle der kritischen Chi-Quadrat-Werte abgelesen werden.
Bei einen Signifikanzniveau von 5% ist der kritische Chi-Quadrat Wert daher 5,991. Dieser kritische Wert ist also größer als der berechnete Chi-Quadrat- bzw. H-Wert. Somit wird die Nullhypothese beibehalten und es gibt keinen Unterschied in der Reaktionszeit in den drei Gruppen.
Post-hoc-Test
Mithilfe des Kruskal-Wallis-Tests kann festgestellt werden, ob sich mindestens zwei Gruppen voneinander unterscheiden. Auf die Frage, welche der Gruppen sich unterschieden, gibt der Kruskal-Wallis-Test keine Antwort, hierfür wird ein Post-hoc test benötigt.
Hierfür ist der Dunn-Test das geeignete nichtparametrische Verfahren für den paarweisen Mehrfachvergleich.
Dunn-Bonferroni-Tests
Um heraus zu finden, welcher der Paare sich unterscheiden, können die einzelnen Gruppen paarweise verglichen werden. Für die Berechnung des p-Wertes von den einzelnen Paaren wird der Dunn-Test verwendet. Um Gruppe A und B zu vergleichen, wird der z-Wert über folgende Formel berechnet.
hierbei ist i eine der Gruppen und yi= WA-WB ist die Differenz der mittleren Rangsummen. Der Standardfehler ergibt sich über
wobei N die Anzahl aller Fälle ist, r ist die Anzahl der verbundenen Ränge und τs ist die Anzahl von Fällen bei dem jeweiligen Rank.
Der berechnete p-Wert kann dann mithilfe der Bonferroni-Korrektur angepasst werden. Die Bonferroni-Korrektur ist die einfachste Methode, um dem Problem der Mehrfachvergleiche entgegenzuwirken. Hierbei wird der berechnete p-Wert mal der Anzahl der Gruppe gerechnet.
Ist der angepasste p-Wert bei einem paarweisen Vergleich kleiner als das Signifikanzniveau (meistens 0.05) , wird die Nullhypothese, dass es keinen Unterschied gibt, abgelehnt. Also, wenn der angepasste p-Wert kleiner als 0,05 ist, wird davon ausgegangen, dass sich die jeweiligen beiden Gruppen unterscheiden.
DATAtab gibt dir den Dunn-Bonferroni-Test automatisch bei der Berechnung eines Kruskal-Wallis-Test mit aus.
Kruskal-Wallis-Test online mit DATAtab berechnen
Rechne das Beispiel direkt mit DATAtab kostenlos nach:
Datensatz ladenDu kannst den Kruskal-Wallis-Test online mit DATAtab berechnen. Gehe dazu einfach auf den Statistik Rechner, kopiere deine Daten in die Tabelle im Statistik Rechner und wähle den Tab "Hypothesentests" aus. Anschließend musst du nur die Variablen auswählen, die du analysieren möchtest und "Kruskal-Wallis Test" auswählen.
DATAtab gibt dir dann die Ergebnisse inklusive Interpretation in der folgenden Form aus:
Kruskal-Wallis-Test interpretation
Wie bei jedem statistischen Hypothesentest ist am Ende der berechnete p-Wert von Interesse. Die Frage ist, ob der berechnete p-Wert kleiner oder größer als das meistens mit 0,05 festgelegte Signifikanzniveau ist. Ist der p-Wert größer, wird die Nullhypothese beibehalten, ansonsten abgelehnt.
In dem oberen Beispiel ist der p-Wert 0.779 und damit größer als 0,05. Die Nullhypothese wird damit beibehalten und es wird davon ausgegangen, dass es keinen Unterschied zwischen den verschiedenen Gruppen in Bezug auf die Reaktionszeit gibt.
Kruskal-Wallis-Test Berichten
Wie werden die Ergebnisse von einem Kruskal-Wallis-Test berichtet?
Ein Kruskal-Wallis Test wurde berechnet, um zu prüfen, ob die Gruppen A, B und C einen Einfluss auf die Reaktionszeit haben. Der Kruskal-Wallis Test hat ergeben, dass es keinen signifikanten Unterschied zwischen den Kategorien A, B und C der unabhängigen Variable in Bezug auf die abhängige Variable Reaktionszeit gibt, p=0,779. Mit den vorliegenden Daten wird damit die Nullhypothese nicht abgelehnt.
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