Kruskal-Wallis-Test

Was ist der Kruskal-Wallis-Test

Der Kruskal-Wallis-Test (H-Test) ist ein Hypothesentest für mehrere unabhängige Stichproben, der dann verwendet wird, wenn die Voraussetzungen für eine einfaktorielle Varianzanalyse nicht erfüllt sind.

Da es sich bei dem Kruskal-Wallis-Test um einen nichtparametrischen Test (auch verteilungsfreie Verfahren genannt) handelt, müssen die verwendeten Daten im Gegensatz zur Varianzanalyse (ANOVA) nicht normalverteilt sein. Die einzige Voraussetzung ist, dass die Daten ordinales Skalenniveau aufweisen.

Beim Kruskal-Wallis-Test reichen ordinale Variablen aus, da bei nichtparametrischen Verfahren nicht die Differenzen der Werte verwendet werden, sondern die Rangplätze (welcher Wert ist größer, welcher ist kleiner). Daher wird der Kruskal-Wallis-Test auch oft Rangvarianzanalyse nach Kruskal und Wallis genannt.

Beispiele für den Kruskal-Wallis-Test

Für den Kruskal-Wallis-Test können natürlich die gleichen Beispiele wie bei der einfaktoriellen ANOVA verwendet werden, jedoch mit dem Zusatz, dass die Daten nicht normalverteilt sein müssen.

Medizinisches Beispiel:

Für eine Pharma-Firma möchtest du prüfen, ob ein Medikament XY einen Einfluss auf das Körpergewicht hat. Hierzu wird jeweils 20 ProbandInnen das Medikament verabreicht, 20 ProbandInnen erhalten ein Placebo und 20 ProbandInnen bekommen keine Medikamente bzw. Placebo.

Sozialwissenschaftliches Beispiel:

Unterscheiden sich drei Altersgruppen in Bezug auf den täglichen Fernsehkonsum?

Fragestellung und Hypothesen beim Kruskal-Wallis-Test

Die Fragestellung beim Kruskal-Wallis-Test kann lauten: Gibt es einen Unterschied in der zentralen Tendenz mehrerer unabhängiger Stichproben? Aus dieser Fragestellung ergeben sich dann die Null und Alternativhypothese.

Nullhypothese

Die unabhängigen Stichproben haben alle die gleiche zentrale Tendenz und stammen daher aus der gleichen Grundgesamtheit.

Alternativhypothese

Mindestens eine der unabhängigen Stichproben hat nicht die gleiche zentrale Tendenz wie die anderen und stammt daher aus einer anderen Grundgesamtheit.

Voraussetzungen für den Kruskal-Wallis-Test

Um einen Kruskal-Wallis-Test zu berechnen, müssen lediglich mehrere unabhängige Zufallsstichproben mit zumindest ordinalskalierten Merkmalen vorliegen. Die Variablen müssen keine Verteilungskurve erfüllen.

Wenn du eine abhängige Stichprobe hast, dann verwendest du einfach den Friedman-Test.

Kruskal-Wallis-Test berechnen

Die Berechnung der Rangvarianzanalyse nach Kruskal und Wallis ist ähnlich jener des Mann-Whitney U Tests, der das nichtparametrische Gegenstück zum t-Test für unabhängige Stichproben ist.

Sagen wir, es gilt die Nullhypothese und es gibt damit keinen Unterschied zwischen den unabhängigen Stichproben. Dann verteilen sich hohe und geringe Ränge zufällig auf die Stichproben und sollten sich gleich über die Gruppen verteilen. Daher ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Rang einer Gruppe zugewiesen wird, für alle Gruppen die gleiche (Bühner & Ziegler ,2017).

Wenn es keinen Unterschied zwischen den Gruppen gibt, müsste auch der Mittelwert der Rangplätze in allen Gruppen der gleiche sein. Der Erwartungswert der Rangplätze ergibt sich dann für jede Gruppe zu

Jede Stichprobe hat somit den gleichen Erwartungswert der Rangplätze, welcher dem Erwartungswert der Grundgesamtheit entspricht. Des Weiteren wird noch die Varianz der Ränge benötigt, diese kann mit der folgenden Formel berechnet werden:

Beim Kruskal-Wallis-Test wird die Prüfgröße H berechnet. Der H-Wert entspricht dem χ² Wert. Der H-Wert ergibt sich aus:

Der kritische H-Wert kann aus der Tabelle der kritischen χ² Werte abgelesen werden. Hiefür muss der kritische χ² für das festgelegt Signifikanzniveau abgelesen werden.

Wird eine Statistik Software wie DATAtab verwendet, kann der p-Wert direkt in der Software abgelesen werden und der kritische χ² Wert muss nicht aus der Tabelle abgelesen Werden, mehr dazu weiter unten.

Berechnung mit Beispieldaten

Sagen wir, du hast die Reaktionszeit von drei Gruppen gemessen und möchtest wissen, ob es einen Unterschied zwischen ihnen gibt. Um das herauszufinden, verwendest du nun den H-Test (Kruskal-Wallis-Test)

Zunächst ordnen wir jeder Person einen Rang zu, anschließend berechnen wir die Rangsumme und die mittlere Rangsumme.

Wir haben bei zwölf Personen die Reaktionszeit gemessen, daher ist die Anzahl der Fälle zwölf. Die Freiheitsgrade ergeben sich durch die Anzahl der Gruppen minus eins, also haben wir zwei Freiheitsgrade.

Nun haben wir alle Werte errechnet, um die Prüfgröße H zu berechnen.

Nachdem der H-Wert bzw. der Chi-Quadrat Wert berechnet worden, kann der kritische Chi-Quadrat Wert aus der Tabelle der kritischen Chi-Quadrat-Werte abgelesen werden.

Bei einen Signifikanzniveau von 5% ist der kritische Chi-Quadrat Wert daher 5,991. Dieser kritische Wert ist also größer als der berechnete Chi-Quadrat- bzw. H-Wert. Somit wird die Nullhypothese beibehalten und es gibt keinen Unterschied in der Reaktionszeit in den drei Gruppen.

Post-hoc-Test

Mithilfe des Kruskal-Wallis-Tests kann festgestellt werden, ob sich mindestens zwei Gruppen voneinander unterscheiden. Auf die Frage, welche der Gruppen sich unterschieden, gibt der Kruskal-Wallis-Test keine Antwort, hierfür wird ein Post-hoc test benötigt.

Hierfür ist der Dunn-Test das geeignete nichtparametrische Verfahren für den paarweisen Mehrfachvergleich.

Dunn-Bonferroni-Tests

Um heraus zu finden, welcher der Paare sich unterscheiden, können die einzelnen Gruppen paarweise verglichen werden. Für die Berechnung des p-Wertes von den einzelnen Paaren wird der Dunn-Test verwendet. Um Gruppe A und B zu vergleichen, wird der z-Wert über folgende Formel berechnet.

hierbei ist i eine der Gruppen und y_i= W_A-W_B ist die Differenz der mittleren Rangsummen. Der Standardfehler ergibt sich über

wobei N die Anzahl aller Fälle ist, r ist die Anzahl der verbundenen Ränge und τ_s ist die Anzahl von Fällen bei dem jeweiligen Rank.

Der berechnete p-Wert kann dann mithilfe der Bonferroni-Korrektur angepasst werden. Die Bonferroni-Korrektur ist die einfachste Methode, um dem Problem der Mehrfachvergleiche entgegenzuwirken. Hierbei wird der berechnete p-Wert mal der Anzahl der Gruppe gerechnet.

Ist der angepasste p-Wert bei einem paarweisen Vergleich kleiner als das Signifikanzniveau (meistens 0.05) , wird die Nullhypothese, dass es keinen Unterschied gibt, abgelehnt. Also, wenn der angepasste p-Wert kleiner als 0,05 ist, wird davon ausgegangen, dass sich die jeweiligen beiden Gruppen unterscheiden.

DATAtab gibt dir den Dunn-Bonferroni-Test automatisch bei der Berechnung eines Kruskal-Wallis-Test mit aus.

Kruskal-Wallis-Test online mit DATAtab berechnen

Du kannst den Kruskal-Wallis-Test online mit DATAtab berechnen. Gehe dazu einfach auf den Statistik Rechner, kopiere deine Daten in die Tabelle im Statistik Rechner und wähle den Tab "Hypothesentests" aus, oder klicke einfeich hier. Anschließend musst du nur die Variablen auswählen, die du analysieren möchtest und den Haken bei "Parametrische Test" wegnehmen.

DATAtab gibt dir dann die Ergebnisse inklusive Interpretation in der folgenden Form aus:

Kruskal-Wallis-Test interpretation

Wie bei jedem statistischen Hypothesentest ist am Ende der berechnete p-Wert von Interesse. Die Frage ist, ob der berechnete p-Wert kleiner oder größer als das meistens mit 0,05 festgelegte Signifikanzniveau ist. Ist der p-Wert größer, wird die Nullhypothese beibehalten, ansonsten abgelehnt.

In dem oberen Beispiel ist der p-Wert 0.779 und damit größer als 0,05. Die Nullhypothese wird damit beibehalten und es wird davon ausgegangen, dass es keinen Unterschied zwischen den verschiedenen Gruppen in Bezug auf die Reaktionszeit gibt.

Kruskal-Wallis-Test Berichten

Wie werden die Ergebnisse von einem Kruskal-Wallis-Test berichtet?

Ein Kruskal-Wallis Test wurde berechnet, um zu prüfen, ob die Gruppen A, B und C einen Einfluss auf die Reaktionszeit haben. Der Kruskal-Wallis Test hat ergeben, dass es keinen signifikanten Unterschied zwischen den Kategorien A, B und C der unabhängigen Variable in Bezug auf die abhängige Variable Reaktionszeit gibt, p=0,779. Mit den vorliegenden Daten wird damit die Nullhypothese nicht abgelehnt.