Einfaktorielle Varianzanalyse

Die einfaktorielle Varianzanalyse ohne Messwiederholungen prüft, ob es einen Unterschied zwischen den Mittelwerten von mehr als 2 Gruppen gibt. Damit ist die einfaktorielle ANOVA die Erweiterung des unabhängigen t-Tests auf mehr als zwei Gruppen bzw. Stichproben.

Einfaktorielle Varianzanalyse Beispiel

Ein klassischer Anwendungsfall für die Varianzanalyse ist in der Therapieforschung. Dich könnte zum Beispiel interessieren, ob verschiedene Therapien nach einem Bandscheibenvorfall unterschiedliche Therapieerfolge ergeben. Hierfür könntest du drei verschiedene Therapien testen.

Auf der einen Seite könntest du mit dem Patienten nur besprechen, welche Bewegungen gut und welche schlecht für die Bandscheibe sind, dann könntest du eine Gruppe mit Medikamenten behandeln und mit der letzten Gruppe könntest du Dehn und Kraft Training machen.

Nach Abschluss der Therapie könntest du dann den Erfolg abfragen und mithilfe einer Varianzanalyse berechnen, ob es einen signifikanten Unterschied zwischen den drei Therapieformen vorliegt. Natürlich müssen die Voraussetzungen erfüllt sein, damit eine ANOVA berechnet werden kann, dazu später mehr.

Hypothesen der einfaktoriellen Varianzanalyse

Wir möchten wissen, ob die Gruppen der unabhängigen Variablen einen Einfluss auf die abhängige Variable haben.

Die Fragestellung, die mit einer einfaktoriellen Varianzanalyse beantwortet werden kann, ist: Gibt es einen Unterschied in der Grundgesamtheit zwischen den verschiedenen Gruppen der unabhängigen Variable in Bezug auf die abhängige Variable.

Die Gruppen der unabhängigen Variable sind in dem oberen Beispiel die verschiedenen Therapieformen und die abhängige Variable ist das Schmerzempfinden nach der jeweiligen Therapie.

Warum wollen wir prüfen, ob es einen Unterschied in der Grundgesamtheit gibt? Eigentlich wollen wir eine Aussage über die Grundgesamtheit treffen, leider ist es in den meisten Fällen nicht möglich, die ganze Grundgesamtheit zu befragen und wir können nur eine Zufallsstichprobe ziehen.

Das Ziel ist es, mithilfe der Varianzanalyse ausgehend von dieser Stichprobe eine Aussage über die Grundgesamtheit zu treffen.

Wir haben den Versuch zum Therapieerfolg natürlich nicht mit allen Personen gemacht, die einen Bandscheibenvorfall haben, sondern nur mit einer Stichprobe, wir möchten die Aussage aber trotzdem für die Grundgesamtheit verallgemeinern.

Die Nullhypothese und die Alternativhypothese ergibt sich zu:

Daher, die Nullhypothese sagt aus, dass es keinen Unterschied gibt, und die Alternativhypothese sagt aus, dass es einen Unterschied gibt.

Voraussetzungen der einfaktoriellen Varianzanalyse

Damit eine einfaktoriellen ANOVA berechnet werden kann, müssen die folgenden Voraussetzungen erfüllt sein:

Was ist, wenn die Voraussetzungen nicht erfüllt sind? Wenn das Skalenniveau der abhängigen Variable nicht metrisch und nicht normalverteilt ist, dann kann der Kruskal-Wallis-Test verwendet werden. Wenn es sich bei den Daten um eine abhängige Stichprobe handelt, muss die Varianzanalyse mit Messwiederholungen verwendet werden.

Einfaktorielle Varianzanalyse berechnen

Für die Berechnung einer Varianzanalyse müssen zunächst die Mittelwerte der einzelnen Gruppen und der Gesamtmittelwert berechnet werden. Anschließend können die verschiedenen Quadratsummen QS berechnet werden.

Aus den Quadratsummen kann dann die mittleren Quadrate ausgerechnet werden und schließlich kann der F-Wert berechnet werden. Aus dem F-Wert und den Freiheitsgraden kann dann mithilfe der F Verteilung der p-Wert berechnet werden.

In der Regel wird der p-Wert aber einfach mit einer Statistik Software wie DATAtab berechnet, siehe weiter unten.

Effektstärke bei der einfaktoriellen ANOVA

Bei der einfaktoriellen Varianzanalyse kann die Effektstärke auf unterschiedliche weise berechnet werden. Am gängigsten sind das Eta-Quadrat (η²), das partielle Eta-Quadrat (η²_p) und die Effektstärke nach Cohen.

Eta-Quadrat und partielle Eta-Quadrat

Eta-Quadrat η² ergibt an, wie groß der Anteil an der Gesamtvarianz in der abhängigen Variable ist, der durch die unabhängige Variable erklärt werden kann.

Im Falle der einfaktoriellen Varianzanalyse ohne Messwiederholung entspricht das Eta-Quadrat dem partiellen Eta-Quadrat.

Effektstärke f nach Cohen

Nachdem das partielle Eta-Quadrat berechnet wurde, ergibt sich die Effektstärke f nach Cohen durch:

Hierbei kann die Einteilung von Cohen (1988) zur Orientierung verwendet werden:

Einfaktorielle Varianzanalyse mit DATAtab berechnen

Wenn du eine einfaktorielle Varianzanalyse mit DATAtab berechnen möchtest, klicke einfach auf den Statistik Rechner und dann auf den Tab Hypothesentests.

Wenn du nun eine metrische Variable und eine nominale Variable mit mehr als 2 Ausprägungen auswählst, wird automatisch eine Varianzanalyse berechnet.

Zuerst erhältst du die Hypothesen und die deskriptiven Statistiken. Anschließend kannst du die Streuung der einzelnen Gruppen in einem Boxplot grafisch ablesen.

Schließlich bekommst du den Levene Test der Varianzgleichheit ausgegeben. Bei dem Levene-Test ergibt sich ein p-Wert von 0,184 der damit größer als das Signifikanzniveau von 0,05 ist. Damit wird die Nullhypothese, dass die Varianzen der unterschiedlichen Gruppen gleich sind, beibehalten und es liegt Varianz homoginität vor.

In der Tabelle "ANOVA" kannst du den berechneten p-Wert der Varianzanalyse ablesen. Ist dieser größer als das Signifikanzniveau, was meistens mit 0,05 gewählt wird, wird die Nullhypothese beibehalten und es wird davon ausgegangen, dass es keinen signifikanten Unterschied zwischen den Gruppen gibt. In diesem Beispiel liegt der p-Wert mit 0,072 über dem Signifikanzniveau von 0,05. Damit wird die Nullhypothese beibehalten und es wird davon ausgegangen, dass es keinen Unterschied in der Reaktionszeit zwischen den drei Gruppen gibt.

Wenn du nicht genau weißt, wie man die Ergebnisse interpretiert, kannst du auch einfach auf Zusammenfassung in Worten klicken.

Bonferroni Post-hoc-Tests

Zum Schluss werden dir dann noch Post-hoc-Tests ausgegeben, wie z.B. der Bonferroni Post-hoc-Tests.

Wenn der p-Wert der Varianzanalyse kleiner als 0,05 ist, kann davon ausgegangen werden, dass sich mindestens zwei Gruppen im Mittelwert unterscheiden. Mithilfe des Bonferroni Post-hoc-Tests kann nun geprüft werden, welche der Gruppen sich unterschieden.

Daher in diesem Beispiel macht es keinen Sinn, einen Post-hoc-Tests zu berechnen, da der p-Wert der Varianzanalyse größer als 0,05 ist und es damit zwischen den Gruppen keinen signifikanten Unterschied gibt.

Wäre der p-Wer der ANOVA kleiner als 0,05, könntest du einfach in den einzelnen Reihen schauen, welcher p-Wert kleiner als 0,05 ist. Ist einer oder mehrere p-Werte kleiner als 0,05, kann davon ausgegangen werden, dass sich diese Gruppen signifikant unterscheiden.