Teilfaktorieller Versuchsplan

Ein teilfaktorieller Versuchsplan ist eine Versuchsplan, der verwendet wird, um die Auswirkungen mehrerer Faktoren (Variablen) auf eine Zielgröße zu untersuchen. Dabei wird der Aufwand und die Kosten von Experimenten reduziert, indem nur ein Teil der möglichen Kombinationen von Faktorstufen analysiert wird, anstatt alle Kombinationen wie bei einem vollfaktoriellen Versuchsplan durchzuführen.

Unterschied Teilfaktorieller und Vollfaktoriellen Versuchsplan

Beim vollfaktoriellen Versuchsplan werden alle möglichen Kombinationen der Faktorstufen vollständig getestet. Im Gegensatz dazu lässt der teilfaktorielle Versuchsplan gezielt bestimmte Kombinationen aus. Dies führt zu einer Reduzierung der benötigten Versuche und damit zu einer geringeren Aufwands- und Kostenbelastung, geht jedoch auch mit einem reduzierten Informationsgewinn einher.

Sagen wir, wir möchten wissen, was einen Einfluss auf das Reibmoment von einem Lager hat, das Reibmoment ist dann unsere Zielgröße. Mögliche Faktoren könnten Schmierung, Temperatur und das Lagermaterial sein. Die Schmierung könnt die Faktorstufen bzw. Ausprägungen Öl und Fett haben. Die Temperatur könnte die Stufen niedrig und hoch haben und das Lagermaterial Stahl und Keramik.

Bei einem Vollfaktoriellen Versuchsplan würden wir nun alle möglichen Kombinationen von Faktorstufen durchtesten. Hierdurch ist es möglich, nicht nur herauszufinden, ob die einzelnen Faktoren einen Effekt auf das Reibmoment haben, sondern wir können auch rausfinden, ob es sogenannte Interaktionseffekte zwischen den Faktoren gibt.

Mit zunehmender Anzahl an Faktoren steigt die Anzahl der erforderlichen Versuche in Vollfaktoriellen Versuchsplänen exponentiell an, was den Aufwand erheblich erhöht. Bei mehr als 4-6 Faktoren wird die Durchführung oft unpraktikabel, da die Versuchszahl schnell zu groß wird. In solchen Fällen bieten Screening-Ansätze wie Teilfaktorielle Versuchspläne eine effiziente Alternative. Diese ermöglichen es, die wichtigsten Haupteffekte und Interaktionen zu identifizieren, während die Anzahl der Versuche erheblich reduziert wird.

Auflösung (engl. Resolution)

Die Reduktion der Versuchszahl in teilfaktoriellen Versuchsplänen geht naturgemäß mit einem Informationsverlust einher. Die sogenannte Auflösung (engl. Resolution) wird bei diesen Plänen verringert, was bedeutet, dass nicht mehr alle Interaktionen untersucht werden können.

Was heißt das konkret? In einem vollfaktoriellen Versuchsplan werden sämtliche Interaktionen, also alle möglichen Kombinationen der Faktoren, berücksichtigt. Bei einer größeren Anzahl von Faktoren entstehen jedoch schnell zahlreiche Interaktionen. Beispielsweise ergeben sich bei fünf Faktoren (A, B, C, D und E) Interaktionen zwischen jeweils zwei, drei, vier und auch allen fünf Faktoren.

Die zentrale Frage lautet daher: Müssen wirklich alle Interaktionen untersucht werden, oder ist es möglich, die Auflösung zu reduzieren und sich auf die wesentlichen Effekte zu konzentrieren? Genau diese Vereinfachung leistet ein teilfaktorieller Versuchsplan, indem er eine Auswahl der relevantesten Effekte untersucht und dadurch den Versuchsumfang verringert.

Wie stark die Anzahl der Versuche zugunsten einer geringeren Auflösung reduziert werden kann, lässt sich aus dieser Tabelle ablesen. In der Diagonale sind die vollfaktoriellen Versuchspläne dargestellt.

Ein Beispiel: Bei 6 Faktoren sind in einem vollfaktoriellen Versuchsplan mindestens 64 Versuche erforderlich.

Entscheiden wir uns jedoch für einen teilfaktoriellen Versuchsplan mit einer Auflösung von 6, reduziert sich die benötigte Versuchszahl auf 32.

Bei einer Auflösung von 4 sind nur noch 16 Versuche erforderlich, und bei einer Auflösung von 3 sinkt die Anzahl der Versuche sogar auf 8.

Was bedeuten die Auflösungen?

In teilfaktoriellen Versuchsplänen werden Wechselwirkungen mit anderen Wechselwirkungen oder Faktoren kombiniert bzw. überlagert. Ein Beispiel ist ein Versuchsplan mit dem sogenannten Generator I=ABCD hat. Dieser Generator zeigt an, welche Effekte miteinander vermengt sind.

Ohne detailliert auf die Rechenregeln einzugehen, lassen sich die Faktoren beliebig auf die linke oder rechte Seite des Gleichheitszeichens verschieben. Aus dem Generator I=ABCD können so insgesamt sieben Kombinationen abgeleitet werden.

Im ersten Fall erkennt man, dass der Haupteffekt des Faktors A mit der Wechselwirkung der Faktoren B, C und D vermengt ist. 'Vermengt' bedeutet, dass nach den Versuchen nicht eindeutig unterschieden werden kann, ob der gemessene Effekt vom Faktor A oder von der Wechselwirkung der Faktoren B, C und D stammt. Ebenso ist jeder andere Haupteffekt mit einer Wechselwirkung der übrigen drei Faktoren überlagert. Darüber hinaus sind auch Wechselwirkungen zwischen jeweils zwei Faktoren mit Wechselwirkungen zwischen anderen zwei Faktoren vermengt. Zum Beispiel ist die Wechselwirkung von Faktor A und B mit der Wechselwirkung von Faktor C und D überlagert.

Auflösung 3

Bei einer Auflösung von 3 können Haupteffekte mit Zwei-Faktoren-Wechselwirkungen überlagert sein, beispielsweise der Haupteffekt von Faktor A mit der Wechselwirkung zwischen den Faktoren B und C.

Versuchspläne mit einer Auflösung von 3 sind daher kritisch zu betrachten, da die Trennung zwischen Haupteffekten und Wechselwirkungen erschwert ist. Sie können nur verwendet werden, wenn die Zwei-Faktoren-Wechselwirkungen deutlich kleiner sind als die Haupteffekte der einzelnen Faktoren. Es genügt nicht, dass man die Wechselwirkung nicht wissen möchte; andernfalls könnten Zwei-Faktoren-Wechselwirkungen das Ergebnis eines Faktors erheblich verfälschen.

Auflösung 4

Versuche mit einer Auflösung von 4 sind deutlich weniger kritisch. In diesem Fall können Zwei-Faktoren-Wechselwirkungen den Haupteffekt nicht verfälschen. Zwei-Faktoren-Wechselwirkungen sind hier nur mit anderen Zwei-Faktoren-Wechselwirkungen vermengt, oder ein Haupteffekt ist lediglich mit einer Drei-Faktoren-Wechselwirkung überlagert.

Auflösung 5

Versuche mit einer Auflösung von 5 gelten als unkritisch. Haupteffekte sind hier nicht durch Drei-Faktoren- oder niedrigere Wechselwirkungen überlagert. Ebenso sind Zwei-Faktoren-Wechselwirkungen nicht mit anderen Zwei-Faktoren-Wechselwirkungen vermengt. Stattdessen sind Zwei-Faktoren-Wechselwirkungen nur mit Drei-Faktoren-Wechselwirkungen überlagert, und Haupteffekte lediglich mit Vier-Faktoren-Wechselwirkungen. Beides ist in der Regel vernachlässigbar.