Standardabweichung

Die Standardabweichung ist ein statistisches Maß, das die Streuung oder Variation der Werte einer Datenreihe um ihren Mittelwert beschreibt. Sie gibt an, wie weit die einzelnen Datenpunkte im Durchschnitt vom Mittelwert entfernt sind.

Eine geringe Standardabweichung bedeutet, dass die Werte nah am Mittelwert liegen, während eine hohe Standardabweichung anzeigt, dass die Werte weiter gestreut sind.

Berechnung der Standardabweichung

Um die Standardabweichung zu berechnen, müssen wir zünächst den Mittelwert berechnen. Den Mittelwert erhalten wir, indem wir einfach die Größen aller Personen addieren und durch die Anzahl der Personen teilen. Nehmen wir an, wir erhalten einen Mittelwert von 155 cm. Nun wollen wir wissen, wie viel jede Person vom Mittelwert abweicht.

Also, wir schauen uns die erste Person an, die weicht 18 cm vom Mittelwert ab, die zweite Person weicht 8 cm vom Mittelwert ab, der dritte 15 cm, der vierte 8 cm, die fünfte 9 cm und schließlich, die letzte Person weicht 6 cm vom Mittelwert ab.

Einfach gesagt: Personen, die sehr groß oder sehr klein sind weichen mehr vom Mittelwert ab. Jetzt interessiert uns aber nicht die Abweichung von jeder einzelnen Person vom Mittelwert, sondern, wir möchten wissen, wie viel die Peronen im Mittel von dem Mittelwert abweichen, und ganau das sagt uns die Standardabweichung.

In unserem Beispiel beträgt die durchschnittliche Abweichung vom Mittelwert 11,5 cm. Um die Standardabweichung zu berechnen, können wir diese Formel verwenden:

Die Standardabweichung ist also die Wurzel der Summe der quadrierten Abweichungen geteilt durch die Anzahl der Werte.

Für unser Beispiel bedeutet das, wir berechnen die Größe der ersten Person minus dem Mittelwert und quadrieren das, die Größe der zweiten Person minus den Mittelwert quadrieren das, und so weiter, bis wir bei der letzten Person angekommen sind.

Dies teilen wir dann noch durch die Anzahl der Personen, also 6 und ziehen daraus die Wurzel. Das Ergebnis ist eine Standardabweichung von 11,5 cm.

Jede einzelne Person hat also eine gewisse Abweichung vom Mittelwert, aber im Durchschnitt weichen die Personen 11,5 cm vom Mittelwert ab, was die Standardabweichung ist.

Jetzt könnte dir eine Sache auffallen: Ich spreche immer von der “mittleren Abweichung” vom Mittelwert. Aber für die mittlere Abweichung würden wir einfach alle Abweichungen addieren und durch die Anzahl der Teilnehmer teilen, so wie man einen Mittelwert berechnet, oder?

Das ist völlig richtig, es gibt jedoch verschiedene Mittelwerte. Im Falle der Standardabweichung wird nicht das arithmetische Mittel verwendet, sondern der quadratische Mittelwert.

Unterschiedliche Formeln

So weit, so gut, jetzt gibt es noch eine Sache zu beachten! Es gibt nämlich zwei leicht unterschiedliche Formeln für die Standardabweichung.

Der Unterschied ist dass wir in dem einen Fall durch n teilen und in dem anderen durch n-1. Aber warum gibt es zwei verschiedene Formeln?

Normalerweise möchte man die Standardabweichung der Grundgesamtheit Wissen. Wir wollen zum Beispiel die Standardabweichung der Körpergröße aller deutschen Profifußballer wissen.

Wenn wir jetzt die Körpergröße aller deutschen Profifußballer hätten, würden wir die Formel mit 1 durch n verwenden.

In der Regel ist es jedoch nicht möglich, die gesamte Bevölkerung zu befragen, weshalb wir eine Stichprobe ziehen. Anschließend verwenden wir diese Stichprobe, um die Standardabweichung der Grundgesamtheit zu schätzen. In diesem Fall nehmen wir diese Formel, mit n-1.

Einfach gesagt: Wenn unsere Erhebung nicht die gesamte Grundgesamtheit erfasst, verwenden wir immer die Formel mit n-1! Wenn wir eine klinische Studie durchgeführt haben, verwenden wir ebenfalls diese Formel, um auf die Population zu schließen.

Standardabweichung und Varianz

Aber was ist der Unterschied zwischen der Standardabweichung und der Varianz? Wie wir wissen, ist die Standardabweichung das quadratische Mittel des Abstands vom Mittelwert. Die Varianz ist nun die quadrierte Standardabweichung.

Wir haben also fast ein und dieselbe Formel! Der einzige Unterschied ist, dass wir für die Berechnung der Standardabweichung die Wurzel ziehen. Um die Varianz zu berechnen, tun wir das aber nicht.

Da die Wurzel gezogen wird, ist die Standardabweichung immer in der gleichen Einheit wie die ursprünglichen Daten. In unserem Fall cm!

Daher ist es ratsam, zur Beschreibung von Daten die Standardabweichung zu verwenden, da dies die Interpretation erleichtert.

Die Varianz ist schwieriger zu interpretieren, da die Einheit das Quadrat der ursprünglichen Einheit ist. In unserem Fall cm².