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t-Test für abhängige Stichproben

Was ist der t-Test für abhängige Stichproben?

Der t-Test für abhängige Stichproben ist ein statistischer Test, mit dem festgestellt werden kann, ob es einen Unterschied zwischen zwei abhängigen Gruppen bzw. Stichproben gibt.

Der t-Test für abhängige Stichproben, oder auch gepaarter t-Test genannt, überprüft, ob sich die Mittelwerte zweier abhängiger Gruppen signifikant voneinander unterscheiden.

t-Test für abhängige Stichproben

Wofür brauchst du den gepaarten t-Test?

Der gepaarten t-Test wird dann verwendet, wenn dieselbe Gruppe bzw. Stichprobe zu zwei Zeitpunkten befragt wird. Dich könnte zum Beispiel interessieren, ob ein Reha-Besuch die körperliche Fitness positive beeinflusst. Da du nicht alle Personen befragen kannst, die auf eine Rehe gehen, verwendest du eine Stichprobe. Mithilfe des gepaarten t-Test kannst du dann von der Stichprobe auf die Grundgesamtheit schließen.

gepaarter t-Test

Was sind abhängige bzw. gepaarte Stichproben?

Bei abhängigen Stichproben liegen diese Messwerte in Paaren vor. Die Paare ergeben sich durch Messwiederholungen, Parallelisierung oder Matching. Dies kann etwa bei Längsschnittstudien mit mehreren Messzeitpunkten (Zeitreihenanalysen) oder bei Interventionsstudien mit experimentellen Designs (Vorher-Nachher-Messung) der Fall sein.

Ein Beispiel für abhängige Stichproben ist, wenn bei einer Gruppe von Personen zu zwei Zeitpunkten das Gewicht gemessen wird. Einer Person kann dann eindeutig ein Gewicht zum ersten und zum zweiten Messzeitpunkt zugeordnet werden und es kann jeweils die Differenz der Messwerte berechnet werden. Sollten mehr als zwei Messzeitpunkte vorliegen, wird die ANOVA mit Messwiederholung verwendet.

Was ist der Vorteil eines abhängigen t-Tests gegenüber einem unabhängigen t-Test?

Die Frage, ob ein abhängiger t-Tests oder ein unabhängiger t-Test verwendet wird, wird natürlich schon im Rahmen des Studiendesigns festgelegt und es kann nicht willkürlich entweder der eine Test oder der andere verwendet werden. Daher ist eher die Frage, welche Art von Studie mehr Sinn macht:

  • Eine Studie mit einer Gruppe von Teilnehmern durchzuführen, die zweimal gemessen werden.
  • Eine Studie mit zwei getrennten Gruppen von Teilnehmern, die jeweils einmal gemessen werden.

Der große Vorteil eines Designs mit wiederholten Messungen, welches dann den abhängigen t-Test verwendet, besteht darin, dass die individuellen Unterschiede zwischen den Teilnehmern eliminiert werden können. Das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit, einen (statistisch signifikanten) Unterschied festzustellen, wenn ein solcher vorhanden ist, mit dem abhängigen t-Test höher ist als mit dem unabhängigen t-Test.

Abhängigen t-Tests vs unabhängigen t-Test

Beispiel für den t-Test für gepaarte Stichproben

Der t-Test für abhängige Stichproben hat zahlreiche Anwendungsgebiete, hier drei Beispiele.

Medizinisches Beispiel:

In einem Pharmaunternehmen möchtest du prüfen, ob ein neues Medikament die Gedächtnisleistung erhöht. Hierzu bestimmst du die Gedächtnisleistung von 40 ProbandInnen bevor und nachdem sie das Medikament eingenommen haben.

Technisches Beispiel:

Eine Schraubenfabrik beklagt sehr hohe Stillstands-Zeiten bei ihren 5 Produktionsanlagen. Du möchtest nun herausfinden, ob ein neu eingeführtes Schmiermittel einen Einfluss auf die Stillstands-Zeiten hat. Hierfür vergleichst du die Stillstands-Zeiten der 5 Anlagen jeweils vor und nach der Einführung des neuen Schmiermittels.

Sozialwissenschafliches Beispiel:

Du möchtest herausfinden, ob es zwischen 2010 und 2015 eine Veränderung in Bezug auf das Gesundheitsbewusstsein der deutschen Bevölkerung gibt. Hierfür könntest du beispielsweise auf Daten des Sozioökonomischen Panels (SOEP) zurückgreifen. Das SOEP ist eine repräsentative Wiederholungsbefragung von Privathaushalten in Deutschland. Es werden dabei stets dieselben Personen in regelmäßigen Abständen zu den gleichen Themen befragt. Um deine Fragestellung zu beantworten, vergleichst du das Gesundheitsbewusstsein der Befragten im Jahr 2010 und 2015.

Fragestellung und Hypothesen

Damit man einen t-Test für abhängige Stichproben berechnen kann, müssen zunächst eine Fragestellung und die Hypothesen definiert werden.

Fragestellung

Bei einem t-Test für abhängige Stichproben lautet die Fragestellung allgemein: Besteht ein statistisch signifikanter Unterschied zwischen dem Stichprobenmittelwert zweier abhängiger Gruppen?

Die Fragestellungen für die oberen Beispiele ergeben sich wie folgt:

  • Hilft das neue Medikament die Gedächtnisleistung zu erhöhen?
  • Hat das neu eingeführte Schmiermittel einen Einfluss auf die Stillstands-Zeiten?
  • Hat sich zwischen 2010 und 2015 das Gesundheitsbewusstsein der deutschen Bevölkerung verändert?

Hypothesen

Nun kann die Hypothese aus der Fragestellung abgeleitet werden. In der Hypothese wird eine vorläufige, also nicht gesicherte Annahme getroffen, die überprüft werden soll. Bei einem gepaarten t-Test lauten die Hypothesen:

  • Nullhypothese H0: Die Mittelwerte der beiden abhängigen Gruppen sind gleich.
  • Alternativhypothese H1: Die Mittelwerte der beiden abhängigen Gruppen unterscheiden sich.

Voraussetzungen t-Test für abhängige Stichproben

Natürlich müssen vor der Berechnung des abhängigen t-Test noch die Voraussetzungen geprüft werden. Sind die im Folgenden beschriebenen Voraussetzungen 2. und 3. nicht erfüllt, muss der Wilcoxon-Test verwendet werden. Der Wilcoxon-Test ist das nichtparametrische Gegenstück zum gepaarten t-Test.

1. Es liegen zwei abhängige Gruppen bzw. Stichproben vor

Wie es der Name t-Test für abhängige Stichproben schon vorgibt, müssen die Gruppen abhängig sein, also ein Wert der einen Gruppe muss zu einem Wert der anderen Gruppe gehören.

  • Von ein und derselben Person wird das Gewicht vor und nach einer Diät gemessen
  • Es wird das Gewicht von Personen gemessen, die eine Diät gemacht haben und von Personen die keine Diät gemacht haben.

2. Die Variablen müssen metrisch sein

Beim t-Test für abhängige Stichproben wird die Differenz von den beiden abhängigen Werte gebildet und dann der Mittelwert berechnet. Dies ist nur dann sinnvoll möglich, wenn die Werte metrisch sind.

  • Das Gehalt einer Person (in Euro)
  • Der Bildungsabschluss einer Person (Hauptschule, Realschule,...).

3. Die Differenzen der gepaarten Werte ist normalverteilt

Die für den gepaarten t-Test benötigte Differenz zwischen den gepaarten Werten muss normalverteilt sein.

  • Die Differenz von dem Gewicht von einer Person zu zwei Zeitpunkten
  • Die Differenz der Augenzahl nach dem Werfen von zwei Würfeln

Was macht der t-Test für abhängige Stichproben?

Beim abhängigen t-Test wird die Differenz von jedem gepaarten Fall berechnet. Von diesen Differenzen wird dann der Mittelwert berechnet. Je nachdem wie groß der Mittelwert ist und wie groß der Standardfehler des Mittelwertes ist, wird dann eine Aussage getroffen wie wahrscheinlich es ist, dass dieses Ergebnis zufällig entstanden ist.

t-Test für abhängige Stichproben berechnen

Zur Berechnung des t-Tests für abhängige Stichproben wird zunächst die Differenz von jedem Paar aus den beiden Gruppen gebildet. Von den resultierenden Differenzen wird dann der Mittelwert diff berechnet.

Die Berechnung der Test-Statistik t ist nun gleich wie beim t-Test für eine Stichprobe. Wenn es keinen Unterschied zwischen den beiden Gruppen gibt, ist der Mittelwert der Differenz diff gleich null. Daher ist die Frage: Gibt es einen Unterschied zwischen diff und null? Die Test-Statistik t für den t-Test für abhängige Stichproben berechnet sich dann mit

t-Test für abhängige Stichproben

wobei Standardfehler des Mittelwertes der Standardfehler des Mittelwertes ist

t-Test für abhängige Stichproben
  • Differenz zwischen den Gruppen = Differenz zwischen den Gruppen
  • Mittelwert der Differenz der beiden Gruppen = Mittelwert der Differenz der beiden Gruppen
  • Stichprobengröße = Stichprobengröße
  • Stichproben Standardabweichung = Standardabweichung
  • Standardfehler des Mittelwertes = geschätzter Standardfehler des Mittelwertes
t-Test für abhängige Stichproben berechnen

Effektstärke abhängiger t-Test

Die Angabe von der Effektstärke ist sehr wichtig bei empirischen Studie. Um eine Aussage über die Effektstärke beim t-Test für abhängige Stichproben zu treffen, kann die folgende Formel verwendet werden

Effektstärke abhängiger t-Test

Generell lässt sich über die Effektstärke sagen:

  • Effektstärke r: 0,2 kleiner Effekt
  • Effektstärke r: 0,5 mittlerer Effekt
  • Effektstärke r: 0,8 großer Effekt

Mit DATAtab berechnen

Im Beispiel für den t-Test für abhängige Stichproben wird untersucht, ob die Sommerferien einen Einfluss auf die körperliche Fitness von Studierenden haben.

Die Fragestellung lautet also: Haben die Sommerferien einen Einfluss auf die körperliche Fitness von Statistik-Studierenden? Hierzu wird bei 10 Statistik-Studierenden ein Fitnesstest einmal vor und einmal nach den Ferien durchgeführt (2 Messzeitpunkte).

Nullhypothese H0

Die mittlere Differenz der Messwertpaare (vor und nach den Ferien) ist gleich Null. Die Semesterferien haben keinen Einfluss auf die körperliche Fitness der Studierenden.

Da nun immer zwei Test-Ergebnisse von einem/r Studierenden stammen, gibt es eine Abhängigkeit zwischen den beiden Stichproben, die Werte liegen in Paaren vor. Daher wird der t-Test für abhängige Stichproben berechnet.

Die Tabelle der Testergebnisse sieht wie folgt aus:

Statistik-StudentIn Punktezahl vor Ferien Punktezahl nach Ferien
1 60 61
2 70 71
3 40 38
4 41 39
5 40 38
6 40 33
7 45 55
8 48 56
9 30 38
10 50 68

Nachdem die obere Tabelle in den t-Test Rechner kopiert worden ist, kannst du den gepaarten t-Test berechnen. Die Ergebnisse sehen folgendermaßen aus:

Statistiken
n Mittelwert Standardabweichung Standardfehler Mittelwert
Punktezahl vor Ferien 10 46,4 11,452 3,622
Punktezahl nach Ferien 10 49,7 14,095 4,457
Korrelation
n Korrelation
vor Ferien - nach Ferien 10 0,847
Abhängiger t-Test
t df p
Punktezahl vor Ferien
Punktezahl nach Ferien
-1,39 9 0,197
95% Konfidenzintervall der Differenz
Mittelwert Standard- abweichung Standardfehler Mittelwert Untere Grenze Obere Grenze
Punktezahl vor Ferien
Punktezahl nach Ferien
-3,3 7,5 2,37 -8,66 2,06

t-Test für abhängige Stichproben interpretieren

Wenn der berechnete p-Wert kleiner ist als das festgelegte Signifikanzniveau (meistens 5%) ist, wird die Nullhypothese abgelehnt, ansonsten wird sie beibehalten. Für das obere Beispiel kannst du die Ergebnisse folgendermaßen berichten:

Die Punktezahl der Variable vor den Ferien hatte niedrigere Werte (M = 46,4, SD = 11,452) als die Punktezahl der Variable nach den Ferien (M = 49,7, SD = 14,095). Ein t-Test für abhängigen Stichproben hat gezeigt, dass dieser Unterschied statistisch nicht signifikant gewesen ist, t(9) = -1,392, p = 0,197, 95% Konfidenzintervall [-8,664, 2,064].

Es ergibt sich ein p-Wert von 0,197 der damit über dem festgelegten Signifikanzniveau von 0,05 liegt. Das t-Test Ergebnis ist daher nicht signifikant und die Nullhypothese wird beibehalten. Somit wird davon ausgegangen, dass beide Stichproben aus der gleichen Grundgesamtheit stammen.


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DATAtab zitieren: DATAtab Team (2024). DATAtab: Online Statistics Calculator. DATAtab e.U. Graz, Austria. URL https://datatab.de

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